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第1篇 微积分1

1.1函数1

1.1.1求几类函数的表达式1

题型一 已知函数，求其反函数的表达式1

题型二 求分段函数的复合函数1

1.1.2判别（证明）几类函数的奇偶性2

题型一 判别经四则运算后的函数的奇偶性2

题型二 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性3

题型三 判别复合函数的奇偶性3

题型四 判别原函数F（x）=∫x0f（t）dt的奇偶性3

题型五 判别函数（akx±1）／（akx？1）的奇偶性（a＞0，a≠1，k≠0）3

1.1.3奇、偶函数的几个性质的应用4

1.1.4函数有界性的判定4

题型一 判定在有限开区间内连续函数的有界性5

题型二 判定在无穷区间内连续函数的有界性5

题型三 判定分段连续函数的有界性6

1.1.5讨论函数的周期性6

习题1.18

1.2极限、连续10

1.2.1极限的概念与基本性质10

题型一 正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”语言的含义10

题型二 正确区别无穷大量与无界变量10

题型三 正确运用极限的保序性、保号性11

题型四 运用极限的四则运算法则或夹逼准则判别极限的存在性12

1.2.2求未定式极限12

题型一 求0／0或∞／∞型极限12

题型二 求0·∞型极限15

题型三 求∞-∞型极限15

题型四 求幂指函数型（00型，∞0型，1∞型）极限16

1.2.3求数列极限18

题型一 求无穷多项和的极限18

题型二 求由递推关系式给出的数列极限21

1.2.4求几类子函数形式特殊的函数极限21

题型一 求需先考察左、右极限的函数极限21

题型二 求含1／x的函数极限23

题型三 求含根式差的函数极限23

题型四 求含指数函数差的函数极限24

题型五 求含lnf（x）的函数极限，其中limx→□f（x）=124

题型六 求含有界变量为因子的函数极限24

1.2.5已知含未知函数的极限，求与该函数有关的极限25

1.2.6求极限式中的待定常数26

题型一 求有理函数极限式中的待定常数26

题型二 确定分式函数极限式中的待定常数27

题型三 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数28

题型四 求含变项积分的极限式中的待定常数28

1.2.7比较和确定无穷小量的阶28

题型一 比较无穷小量的阶29

题型二 确定无穷小量为几阶无穷小量30

题型三 利用无穷小量阶的比较求待定常数31

1.2.8讨论函数的连续性及间断点的类型31

题型一 判别初等函数的连续性32

题型二 讨论分段函数的连续性33

题型三 讨论含参变量的极限式所定义的函数的连续性33

题型四 判别函数间断点的类型34

1.2.9连续函数性质的两点应用35

题型一 利用连续函数性质证明中值等式命题35

题型二 证明方程实根的存在性36

1.2.10极限在经济活动分析中的应用37

题型一 计算连续复利37

题型二 求解贴现问题38

习题1.239

1.3一元函数微分学43

1.3.1导数定义的三点应用43

题型一 讨论函数在某点的可导性43

题型二 利用导数定义求某些函数的极限46

题型三 利用导数定义求函数表达式47

1.3.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性47

题型一 讨论分段函数的可导性47

题型二 讨论分段函数的导函数的连续性48

题型三 讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性49

1.3.3讨论含绝对值的函数的可导性49

题型一 讨论绝对值函数｜f（x）｜的可导性49

题型二 讨论f（x）=｜ψ（x）｜g（x）的可导性50

1.3.4求一元函数的导数和微分51

题型一 求复合函数的一阶导数与二阶导数51

题型二 求反函数的导数51

题型三 求由一个方程所确定的隐函数的导数52

题型四 求分段函数的一阶、二阶导数53

题型五 求带绝对值的函数的导数53

题型六 求幂指函数f（x）g（x）的导数54

题型七 求某些简单函数的高阶导数54

题型八 求一元函数的微分56

1.3.5利用函数的连续性、可导性确定其待定常数58

题型一 利用函数的连续性确定其待定常数58

题型二 根据函数的可导性确定待定常数59

1.3.6利用微分中值定理的条件及其结论解题60

1.3.7利用罗尔定理证明中值等式61

题型一 证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数61

题型二 证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=062

题型三 证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（x）≠0）62

题型四 证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=063

题型五 证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）［f（ξ）-bξ］=b63

题型六 已知函数在端点和在别处的取值情况，证明有关的中值等式64

题型七 证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数）65

题型八 证明题设中有定积分等式的中值等式65

题型九 证明存在ξ∈（a，b），使F（k）（ξ）=0（k≥2）66

1.3.8拉格朗日中值定理的几点应用67

题型一 证明与函数差值有关的中值命题67

题型二 证明函数与其导数的关系68

题型三 证明含或可化为函数差值的不等式70

题型四 求中值的（极限）位置70

1.3.9利用柯西定理证明中值等式71

题型一 证明两函数差值之比的中值等式71

题型二 证明两函数导数之比的中值等式71

1.3.10证明多个中值所满足的中值等式72

1.3.11利用导数讨论函数性态74

题型一 证明函数在区间I上是一个常数74

题型二 证明（判别）函数的单调性74

题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值75

题型四 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点77

题型五 利用导数（值）的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点77

题型六 求函数的单调区间、极值、最值77

题型七 求曲线凹凸区间与拐点79

题型八 求曲线的渐近线81

题型九 利用函数性态作函数图形83

题型十 已知函数的图形，确定其函数或其导函数性质84

题型十一 利用导函数的图形，确定原来函数的性态84

1.3.12利用函数性态，讨论方程的根85

题型一 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数85

题型二 讨论含参数的方程实根的个数及其所在区间85

1.3.13利用导数证明不等式87

题型一 已知F（a）≥0（或F（b）≥0）证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞087

题型二 证明含常数加项的不等式88

题型三 证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式89

1.3.14一元函数微分学的几何应用90

题型一 求平面曲线的切线方程和法线方程90

题型二 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题91

题型三 求解与两曲线相切的有关问题92

1.3.15导数在经济活动分析中的应用92

题型一 计算弹性93

题型二 计算边际函数94

题型三 求解与边际和弹性有关的应用题94

题型四 求解经济应用中一元函数的最值问题96

习题1.397

1.4一元函数积分学101

1.4.1原函数与不定积分的关系101

题型一 已知某函数，求其原函数101

题型二 已知某函数的原函数，求有关函数的不定积分102

1.4.2计算不定积分103

题型一 计算∫f（x）g（x）dx103

题型二 计算简单无理函数的不定积分103

题型三 求∫1/（ax+b）kf［1/（ax+b）k-1］dx，其中k≠1为正实数106

题型四 求∫f（x）/g（x）dx106

题型五 求被积函数的分母为相差常数的两函数乘积的积分108

题型六 求被积函数含反三角函数为因子函数的积分108

1.4.3利用定积分性质计算定积分109

题型一 利用其几何意义计算定积分109

题型二 计算对称区间上的定积分110

题型三 计算周期函数的定积分110

题型四 利用定积分的常用计算公式求其值111

题型五 计算被积函数含函数导数的积分112

题型六 比较和估计定积分的大小113

题型七 求解含积分值为常数的函数方程113

题型八 计算几类需要分子区间积分的定积分114

题型九 计算含参数的定积分115

题型十 求需换元计算的定积分116

题型十一 求连续函数的定积分的极限117

1.4.4求解与变限积分有关的问题118

题型一 求含变限积分的未定式极限118

题型二 求变限积分的导数120

题型三 求变限积分的定积分120

题型四 计算分段函数的变限积分120

题型五 讨论变限积分函数的性态121

1.4.5证明定积分等式123

题型一 证明定积分的变换公式123

题型二 证明定积分中值等式124

1.4.6定积分不等式的常用证法125

1.4.7计算反常积分128

题型一 计算无穷区间上的反常积分128

题型二 判别∫+∞adx/xp与∫+∞adx/x（lnx）p的敛散性（a＞0）130

题型三 计算无界函数的反常积分130

题型四 判别∫badx/（b-x）p与∫badx/（x-a）p的敛散性132

1.4.8定积分的应用133

题型一 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积133

题型二 求旋转体体积133

题型三 求解几何应用与最值问题相结合的应用题135

题型四 已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线136

题型五 求函数在区间上的平均值137

题型六 由变化率求原经济函数或其变动值137

题型七 由边际函数求（最优）总函数138

习题1.4138

1.5多元函数微积分学142

1.5.1二（多）元函数微分学中的几个概念142

题型一 判别二元函数的极限、连续、可偏导及可微之间的相互关系143

题型二 用定义判别二元函数在某点是否可微144

1.5.2计算偏导数与全微分145

题型一 计算显函数的偏导数145

题型二 求带抽象函数记号的复合函数偏导数146

题型三 计算由一个方程确定的隐函数的（偏）导数149

题型四 求由方程组确定的隐函数的（偏）导数150

题型五 变换含一阶、二阶偏导数的表达式151

题型六 求二元函数的全微分151

1.5.3多元函数微分学的应用152

题型一 求二元函数的极值和最值152

题型二 求二（多）元函数的条件极值153

1.5.4用直角坐标系计算二重积分155

题型一 根据积分区域选择积分次序计算二重积分155

题型二 根据被积函数选择积分次序计算二重积分156

题型三 证明二次积分等于单积分157

题型四 利用对称性简化计算二重积分157

题型五 分块计算二重积分160

题型六 计算无界区域上较简单的二重积分161

1.5.5用极坐标系计算二重积分163

题型一 计算圆域x2+y2≤a（a＞0）上的二重积分163

题型二 计算圆域x2+y2≤2ax（a＞0）上的二重积分164

题型三 计算圆域x2+y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分164

题型四 计算圆域x2+y2≤2by（b＞0）上的二重积分165

题型五 计算圆域x2+y2≤-2by（b＞0）上的二重积分166

题型六 计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重积分166

1.5.6交换二次积分次序与转换二次积分167

题型一 交换二（累）次积分的积分次序167

题型二 转换二次积分169

1.5.7求含二重积分的极限169

习题1.5170

1.6无穷级数173

1.6.1判别常数项级数的敛散性173

题型一 判别正项级数的敛散性173

题型二 判别交错级数的敛散性175

题型三 判别任意项级数的敛散性177

1.6.2求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域182

1.6.3求级数的和函数184

题型一 求∞Σn=1P（n）xn的和函数，其中P（n）为n的多项式185

题型二 求∞Σn=01/Q（n）xn的和函数，其中Q（n）为n的多项式185

题型三 求其系数分母为连乘积的幂级数的和函数187

习题1.6189

1.7常微分方程与差分方程192

1.7.1求解一阶线性微分方程192

题型一 求解变量可分离的微分方程192

题型二 求解齐次微分方程192

题型三 求解一阶线性微分方程193

题型四 求解以x为因变量，y为自变量的一阶微分方程194

题型五 求以分段函数为非齐次项或系数的一阶微分方程的连续解195

题型六 求解其他形式给出的一阶微分方程196

1.7.2求解二阶常系数线性微分方程196

题型一 求解二阶常系数齐次线性微分方程197

题型二 求解二阶常系数非齐次线性微分方程197

题型三 已知线性微分方程，求具有某性质的特解198

1.7.3已知特解，反求其二阶线性常系数方程199

题型一 已知特解，反求其二阶齐次方程199

题型二 已知特解，反求其二阶非齐次方程200

1.7.4微分方程的简单应用200

题型一 求解与几何量有关的问题200

题型二 求解未知函数所满足的方程201

题型三 求解简单的经济应用题202

1.7.5一阶常系数线性差分方程203

题型一 求解一阶常系数线性齐次差分方程204

题型二 求解一阶非齐次差分方程204

习题1.7207

第2篇 线性代数209

2.1计算行列式209

2.1.1计算数字型行列式209

题型一 计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式209

题型二 计算非零元素在三条线上的行列式211

题型三 计算行（列）和相等的行列式212

题型四 计算范德蒙行列式212

题型五 求代数余子式之和的值213

题型六 求行列式中含某因子的所有项214

2.1.2计算抽象矩阵的行列式214

题型一 计算由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值215

题型二 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式216

题型三 计算含零子块的四分块矩阵的行列式216

题型四 证明方阵的行列式等于零217

2.1.3克莱姆法则的应用218

习题2.1220

2.2矩阵222

2.2.1证明矩阵的可逆性222

题型一 证明矩阵可逆222

题型二 证明和（差）矩阵可逆224

题型三 证明方阵为不可逆矩阵224

2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法225

2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题226

题型一 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式226

题型二 求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵227

题型三 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩228

题型四 求伴随矩阵229

题型五 证明伴随矩阵的性质229

2.2.4计算方阵高次幂的方法230

2.2.5求矩阵的秩234

题型一 求元素具体给定的矩阵的秩234

题型二 求抽象矩阵的秩234

题型三 已知矩阵的秩，求其待定常数236

2.2.6分块矩阵乘法运算的应用237

2.2.7初等变换与初等矩阵的关系的应用239

题型一 用初等矩阵表示初等变换239

题型二 利用初等矩阵的性质计算矩阵239

题型三 利用矩阵的初等变换性质解题240

2.2.8求解矩阵方程240

题型一 求解含单位矩阵E加项的矩阵方程241

题型二 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程241

题型三 求解含多个未知矩阵的矩阵方程242

题型四 求与已知矩阵可交换的所有矩阵244

题型五 已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式245

2.2.9求解与矩阵等价的有关问题245

题型一 判别两矩阵等价246

题型二 利用矩阵等价的性质求解有关问题246

习题2.2247

2.3向量250

2.3.1判别向量组线性相关、线性无关250

题型一 用线性相关性定义做选择题、填空题250

题型二 判别分量已知的向量组的线性相关性251

题型三 证明几类向量组的线性相关性252

题型四 已知向量组的线性相关性，求其待定常数257

2.3.2判定向量能否由向量组线性表示258

题型一 判定分量已知的向量能否由向量组线性表示258

题型二 判断一抽象向量能否由向量组线性表示259

题型三 判别一向量组可否由另一向量组线性表示260

2.3.3两向量组等价的常用证法261

2.3.4向量组的秩与极大线性无关组的求（证）法264

题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大无关组264

题型二 将向量用极大线性无关组线性表示265

题型三 求解（证明）与向量组的秩有关的问题266

题型四 证一向量组为一极大无关组267

2.3.5将线性无关向量组正交规范化268

习题2.3269

2.4线性方程组272

2.4.1判定线性方程组解的情况272

题型一 判定齐次线性方程组解的情况272

题型二 判定非齐次线性方程组解的情况274

2.4.2由其解反求方程组或其参数276

题型一 已知AX=0的解的情况，反求A中参数276

题型二 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数276

题型三 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵277

2.4.3证明一组向量为基础解系278

2.4.4基础解系和特解的简便求法279

2.4.5求解含参数的线性方程组280

题型一 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组281

题型二 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组284

题型三 求解参数仅出现在常数项的线性方程组284

题型四 求解通解满足一定条件的含参数的方程组285

2.4.6求抽象线性方程组的通解286

题型一 A没有具体给出，求AX=0的通解286

题型二 已知AX=b的特解，求其通解287

题型三 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解288

2.4.7求两线性方程组的非零公共解289

题型一 求两齐次线性方程组的非零公共解289

题型二 证明两齐次线性方程组有非零公共解290

题型三 讨论两方程组同解的有关问题290

习题2.4292

2.5矩阵的特征值、特征向量296

2.5.1求矩阵的特征值、特征向量296

题型一 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量296

题型二 求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量298

2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵299

题型一 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵的待定常数299

题型二 已知特征值、特征向量，反求其矩阵301

2.5.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量302

2.5.4判别方阵是否可对角化304

题型一 判别元素给定的矩阵是否可对角化304

题型二 判别抽象矩阵是否可对角化305

2.5.5相似矩阵的判别及其性质的简单应用306

题型一 判定两方阵是否相似306

题型二 相似矩阵性质的简单应用307

2.5.6与两矩阵相似有关的计算308

题型一 n阶矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值）308

题型二 求n阶实对称矩阵A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值）310

题型三 已知矩阵A和可逆阵P，使P-1AP=B，求方阵B311

题型四 计算相似矩阵的高次幂312

习题2.5312

2.6二次型315

2.6.1求二次型的矩阵及其秩315

题型一 用矩阵形式表示二次型315

题型二 求二次型的秩316

2.6.2化标准形及由标准形确定二次型317

题型一 化二次型为标准形、规范形317

题型二 由二次型的标准形确定该二次型320

2.6.3判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性320

题型一 判别具体给定的二次型或其矩阵的正定性321

题型二 判别或证明抽象的二次型（实对称矩阵）的正定性321

题型三 确定参数值使二次型或其矩阵正定324

2.6.4判别两矩阵是否合同325

题型一 判别（证明）两实对称矩阵合同325

题型二 判别（证明）两矩阵不合同326

2.6.5讨论矩阵等价、相似及合同的关系326

习题2.6328

第3篇 概率论与数理统计330

3.1随机事件和概率330

3.1.1随机事件间的关系及其运算330

题型一 描绘随机试验的样本空间330

题型二 用式子表示事件关系330

题型三 利用事件运算的性质或图示法简化事件算式331

题型四 求满足一定条件的事件关系331

3.1.2直接计算随机事件的概率332

题型一 计算古典型概率332

题型二 计算几何型概率334

题型三 计算伯努利概型中事件的概率335

3.1.3间接计算随机事件的概率336

题型一 计算和、差、积事件的概率336

题型二 求与包含关系有关的事件的概率338

题型三 计算与互斥事件有关的事件的概率339

题型四 求与条件概率有关的事件的概率339

题型五 求与他事件有关的单个事件的概率340

题型六 判别或证明事件概率不等式340

3.1.4几个计算概率公式的实际应用341

题型一 用加法公式求解实际应用题341

题型二 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题341

题型三 用全概率公式和逆概率（贝叶斯）公式求解实际应用题342

题型四 利用抽签原理计算事件概率345

3.1.5判别事件的独立性345

题型一 判别（证明）两事件相互独立345

题型二 判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立347

习题3.1348

3.2一维随机变量及其分布352

3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用352

题型一 判别分布列、概率密度及分布函数353

题型二 利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件354

题型三 求随机变量落在某点或某区间上的概率355

3.2.2求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数356

题型一 求概率分布（分布律）及分布函数356

题型二 求连续型随机变量的分布函数或其值358

题型三 求概率密度359

3.2.3利用常用分布计算事件的概率359

题型一 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率359

题型二 利用超几何分布计算事件的概率362

题型三 利用几何分布计算事件的概率362

题型四 利用泊松分布计算事件的概率363

题型五 利用均匀分布计算事件的概率363

题型六 利用指数分布计算事件的概率364

题型七 利用正态分布计算事件的概率365

3.2.4求随机变量函数的分布368

题型一 求离散型随机变量函数的概率分布368

题型二 求连续型随机变量函数的分布369

题型三 讨论随机变量函数分布的性质373

习题3.2373

3.3二维随机变量的联合概率分布377

3.3.1求二维随机变量的分布377

题型一 求二维离散型随机变量的联合分布律377

题型二 求二维随机变量的边缘分布380

题型三 由联合分布、边缘分布求条件分布381

题型四 由条件分布反求联合分布、边缘分布384

题型五 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数385

3.3.2随机变量的独立性386

题型一 判别两随机变量的独立性386

题型二 利用独立性确定联合分布中的待定常数391

3.3.3计算二维随机变量取值的概率392

题型一 计算两离散型随机变量运算后取值的概率392

题型二 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率393

题型三 求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率394

题型四 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率395

题型五 已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布395

3.3.4求二维随机变量函数的分布395

题型一 已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律395

题型二 求两连续型随机变量的简单函数的分布397

题型三 已知X，Y的分布，求max（X，Y）与min（X，Y）的分布400

习题3.3401

3.4随机变量的数字特征405

3.4.1求一维随机变量的数字特征405

题型一 求随机变量的数学期望与方差405

题型二 求随机变量函数的数学期望409

题型三 计算随机变量的矩411

3.4.2求二维随机变量的数字特征411

题型一 求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差411

题型二 计算协方差和相关系数415

3.4.3计算两类分布的数字特征419

题型一 计算二维正态分布的数字特征419

题型二 计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征420

3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系422

题型一 确定两随机变量相关与不相关422

题型二 讨论相关性与独立性的关系423

3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数424

3.4.6求解两类综合应用题型425

题型一 求解与数字特征有关的实际应用题425

题型二 求解概率论与其他数学分支的综合应用题427

习题3.4430

3.5大数定律和中心极限定理434

3.5.1用切比雪夫不等式估计事件的概率434

3.5.2大数定律成立的条件和结论435

题型一 利用三个大数定律成立的条件解题437

题型二 求随机变量序列依概率的收敛值439

3.5.3两个中心极限定理的简单应用439

题型一 利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件的概率440

题型二 已知随机变量取值的概率，估计取值范围441

题型三 应用列维-林德伯格中心极限定理之条件和结论解题441

题型四 近似计算n个随机变量之和取值的概率442

题型五 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n443

习题3.5443

3.6数理统计初步446

3.6.1求统计量的分布446

题型一 求统计量的分布及其分布参数446

题型二 求统计量取值的概率449

题型三 求统计量的数字特征450

3.6.2参数估计451

题型一 求总体分布中未知参数的矩估计量（值）452

题型二 求未知参数的极（最）大似然估计量（值）453

习题3.6455

习题答案与提示457