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第1章 曲线与曲面论1

1.1度量空间与欧氏空间2

1.1.1度量空间2

1.1.2向量空间4

1.1.3仿射空间6

1.1.4欧氏空间6

1.1.5等距变换7

1.2三维欧氏空间中的向量代数和向量分析7

1.2.1三维欧氏空间中的向量及其运算8

1.2.2向量函数和向量分析8

附录1.2笛卡儿生平及学术贡献10

1.3曲线论概述12

1.3.1曲线的表示12

1.3.2空间曲线的基本三棱形14

1.3.3曲线的曲率、挠率和费雷内公式16

附录1.3欧拉生平及学术贡献19

1.4曲面论概述21

1.4.1曲面的表示21

1.4.2曲面的定向24

1.4.3曲面的第一基本形式26

1.4.4曲面的第二基本形式28

1.4.5曲面的曲率30

附录1.4高斯生平及学术贡献34

1.5基于MATLAB的几何图形绘制和数值计算36

1.5.1MATLAB用户环境介绍36

1.5.2基于MATLAB的平面曲线绘制37

1.5.3基于MATLAB的空间曲线绘制38

1.5.4基于MATLAB的曲面绘制39

1.5.5基于MATLAB的微分几何数值计算44

习题145

第2章 张量代数和外形式46

2.1对偶空间与多重线性函数46

2.1.1对偶空间46

2.1.2多重线性函数48

2.2张量与张量代数49

2.2.1张量及其表示49

2.2.2张量积和张量代数50

2.2.3张量的缩并运算53

2.2.4度量张量、指标的提升和下降54

2.3对称张量和反对称张量55

2.3.1对称与反对称张量55

2.3.2对称化与反对称化算子57

2.4外形式与外代数59

2.4.1外形式59

2.4.2外积60

2.4.3外形式空间和外代数62

2.4.4外形式的性质63

附录2.4嘉当生平及学术贡献65

习题267

第3章 微分流形68

3.1拓扑学基本概念69

3.1.1拓扑空间69

3.1.2拓扑空间的子集70

3.1.3拓扑空间的映射71

3.1.4拓扑不变性72

3.2微分流形74

3.2.1拓扑流形74

3.2.2微分流形75

3.2.3微分流形的例子76

附录3.2黎曼生平及学术贡献79

3.3光滑映射和微分同胚81

3.3.1流形间的光滑映射81

3.3.2微分同胚82

附录3.3惠特尼生平及学术贡献84

3.4切向量与余切向量85

3.4.1切向量与切空间85

3.4.2余切向量和余切空间89

3.4.3诱导切映射和诱导余切映射90

3.5子流形和带边流形92

3.5.1浸入与嵌入92

3.5.2开子流形和闭子流形95

3.5.3嵌入定理96

3.5.4带边流形和闭流形97

附录3.5纳什生平及学术贡献97

习题399

第4章 切向量场、单参数变换群与切丛102

4.1切向量场和泊松括号积102

4.1.1切向量场103

4.1.2李代数与泊松括号积104

4.1.3微分流形上的对合分布107

4.1.4诱导切映射与泊松括号积运算的可交换性109

4.2单参数变换群和李导数109

4.2.1单参数变换群110

4.2.2单参数变换群的诱导光滑切向量场110

4.2.3李导数112

4.3向量丛和切丛113

4.3.1向量丛113

4.3.2切丛和余切丛115

附录4.3陈省身生平及学术贡献118

习题4121

第5章 张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络122

5.1光滑张量场123

5.1.1光滑张量场123

5.1.2张量场的李导数125

5.2单位分解定理、黎曼流形和伪黎曼流形126

5.2.1单位分解定理126

5.2.2黎曼流形126

5.2.3伪黎曼流形128

附录5.2爱因斯坦、广义相对论与黎曼几何130

5.3外微分式及外微分132

5.3.1外微分式132

5.3.2外微分133

5.3.3流形间光滑映射的诱导映射138

5.4仿射联络和列维-齐维塔联络141

5.4.1仿射联络和仿射联络空间141

5.4.2挠率张量和挠率形式143

5.4.3列维-齐维塔联络145

5.4.4协变微分147

附录5.4列维-齐维塔生平及学术贡献150

5.5黎曼曲率和结构方程151

5.5.1平行移动和测地线151

5.5.2仿射联络的曲率张量和曲率形式152

5.5.3黎曼曲率张量、截曲率和常曲率空间154

5.5.4黎曼流形的结构方程157

5.5.5里奇曲率和数量曲率159

5.5.6爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形160

习题5161

第6章 流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调164

6.1流形的定向、流形上的积分和斯托克斯定理165

6.1.1流形的定向165

6.1.2光滑流形上的积分167

6.1.3黎曼流形上的积分169

6.1.4斯托克斯定理170

6.2黎曼流形上的微分算子174

6.2.1霍奇星算子175

6.2.2散度算子和梯度算子176

6.2.3余微分算子179

6.3霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子及其特征值182

6.3.1霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-贝尔特拉米算子183

6.3.2拉普拉斯算子的特征值187

附录6.3贝尔特拉米生平及学术贡献190

6.4德拉姆上同调和霍奇分解定理192

6.4.1德拉姆上同调192

6.4.2霍奇分解定理及其应用193

6.4.3庞加莱对偶定理195

附录6.4德拉姆生平及学术贡献197

习题6199

名词索引201

人名索引208

参考文献213