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第1章 绪论1

1.1 算法1

1.1.1 算法的表述形式2

1.1.2 算法常具有的基本特征2

1.2 误差5

1.2.1 误差的来源5

1.2.2 误差的基本概念6

1.2.3 有效数字7

1.3 数值运算时误差的传播8

1.3.1 一元函数计算的误差传播8

1.3.2 多元函数计算时的误差传播9

1.3.3 四则运算中误差的传播9

1.3.4 设计算法时应注意的问题10

1.3.5 病态问题和数值算法的稳定性11

习题112

第2章 线性方程组的直接解法14

2.1 引言14

2.2 Gauss消元法14

2.2.1 Gauss消元法的基本思想15

2.2.2 Gauss消元法公式15

2.2.3 Gauss消元法的条件16

2.2.4 Gauss消元法的计算量估计17

2.3 选主元的Gauss消元法17

2.3.1 列主元消元法18

2.3.2 全主元消元法19

2.4.1 Gauss-Jordan消元法20

2.4 Gauss-Jordan消元法20

2.4.2 方阵求逆21

2.5 矩阵的LU分解22

2.5.1 矩阵的LU分解22

2.5.2 直接LU分解25

2.5.3 行列式求法28

2.5.4 Crout分解28

2.6 平方根法29

2.6.1 矩阵的LDU分解29

2.6.2 对称正定矩阵的Cholesky分解29

2.6.3 平方根法和改进的平方根法30

2.7 追赶法32

2.8.1 向量范数36

2.8 向量和矩阵的范数36

2.8.2 矩阵范数37

2.8.3 谱半径38

2.8.4 条件数及病态方程组39

习题243

第3章 线性方程组的迭代解法47

3.1 迭代法的一般形式47

3.2 几种常用的迭代法公式47

3.2.1 Jacobi迭代法47

3.2.2 Gauss-Seicel迭代法49

3.2.3 SOR迭代法51

3.3 迭代法的收敛条件53

3.3.1 迭代法的一般形式的收敛条件53

3.3.2 从矩阵A判断收敛55

3.4 极小化方法59

3.4.1 与线性方程组等价的极值问题59

3.4.2 沿已知方向求函数的极小值60

3.4.3 最速下降法60

3.4.4 共轭斜向法61

习题364

第4章 方阵特征值和特征向量计算66

4.1 幂法和反幂法66

4.1.1 幂法66

4.1.2 幂法的其他复杂情况68

4.1.3 反幂法69

4.1.4 原点平移加速技术70

4.1.5 求已知特征值的特征向量71

4.2 Jacobi方法72

4.2.1 平面旋转矩阵73

4.2.2 古典Jacobi方法75

4.2.3 过关Jacobi方法76

4.3 QR方法78

4.3.1 Householder变换78

4.3.2 拟上三角矩阵79

4.3.3 矩阵的正交三角分解81

4.3.4 基本QR方法82

习题483

第5章 非线性方程求根85

5.1 二分法85

5.2.1 迭代法的一般形式87

5.2 迭代法87

5.2.2 迭代法的收敛性88

5.2.3 迭代法收敛速度91

5.3 Newton迭代法91

5.3.1 Newton迭代法91

5.3.2 割线法96

5.4 非线性方程组的求根97

5.4.1 不动点迭代法98

5.4.2 Newton法100

5.4.3 Newton法的一些改进方案101

习题5103

第6章 插值法105

6.1.1 线性插值106

6.1 Lagrange插值106

6.1.2 二次插值108

6.1.3 n次插值109

6.1.4 插值余项110

6.2 Newton插值法111

6.2.1 差商111

6.2.2 Newton插值多项式112

6.3 差分插值115

6.3.1 差分的概念115

6.3.2 差分的性质116

6.3.3 常用差分插值多项式116

6.4 Hermite插值118

6.4.1 带一阶导数的Hermite插值119

6.4.2 两种常用的三次Hermite插值121

6.5.1 Runge振荡现象123

6.5 分段插值123

6.5.2 分段线性插值124

6.5.3 分段三次Hermite插值125

6.6 样条插值126

6.6.1 样条插值的基本概念127

6.6.2 三转角插值法127

习题6130

第7章 数据拟合和最佳平方逼近133

7.1 拟合和逼近的概念133

7.2 数据拟合134

7.2.1 最小二乘函数拟合134

7.2.2 多项式拟合135

7.3.1 函数的最佳平方逼近140

7.3 最佳平方逼近140

7.3.2 最佳平方逼近多项式141

习题7145

第8章 数值积分与数值微分148

8.1 求积公式148

8.1.1 问题的提出148

8.1.2 数值积分的基本思想148

8.1.3 代数精度149

8.1.4 插值型求积公式149

8.2 Newton-Cotes公式150

8.2.1 Newton-Cotes公式150

8.2.2 常见的Newton-Cotes公式151

8.3.1 复化梯形公式154

8.3 复化求积公式154

8.3.2 复化Simpson公式155

8.3.3 复化Cotes公式156

8.3.4 变步长方法157

8.4 Rombcrg求积公式158

8.4.1 Richardson外推法158

8.4.2 Romberg积分法159

8.5 Gauss求积公式161

8.5.1 Gauss求积公式及其性质161

8.5.2 常见的Gauss型求积公式162

8.5.3 复化Gauss型求积公式168

8.6 数值微分169

8.6.1 数据的数值微分169

8.6.2 函数的数值微分171

习题8172

第9章 常微分方程的数值解法175

9.1 引言175

9.2 Euler方法176

9.2.1 Euler方法的推导176

9.2.2 几何意义177

9.2.3 Euler方法的改进177

9.3 Runge-Kutta方法180

9.3.1 R-K方法的构造180

9.3.2 四阶经典R-K公式182

9.3.3 步长的选取184

9.4 线性多步法185

9.4.1 线性多步法的一般形式185

9.4.2 利用数值积分构造线性多步法188

9.5 高阶的预测-校正公式189

9.5.1 四阶Adams预测-校正公式190

9.5.2 局部截断误差估计和修正191

9.5.3 修正的Adams预测-校正法191

9.6 一阶常微分方程组与高阶常微分方程192

9.6.1 一阶常微分方程组192

9.6.2 高阶常微分方程193

9.7 收敛性与稳定性194

9.7.1 收敛性194

9.7.2 稳定性194

习题9196

第10章 Matlab软件与数值计算198

10.1 矩阵与数组198

10.2.2 多项式函数201

10.2 函数运算和作图201

10.2.1 基本初等函数201

10.2.3 矩阵函数202

10.2.4 绘图命令207

10.2.5 Matlab编程210

10.3 线性方程组的数值解212

10.3.1 直接法212

10.3.2 迭代法213

10.3.3 迭代法收敛理论218

10.3.4 SOR法的松弛因子220

10.3.5 病态方程组和条件数222

10.4 方阵的特征值和特征向量223

10.4.1 幂法223

10.4.2 古典Jacobi旋转法224

10.4.3 基本QR算法226

10.4.4 Matlab中求特征值和特征向量的命令228

10.5 方程和方程组求根229

10.5.1 二分法229

10.5.2 Newton法230

10.5.3 Matlab关于方程（组）求根的命令231

10.6 插值方法233

10.6.1 Lagrange插值233

10.6.2 Newton插值233

10.6.3 用拟合函数polyfit作插值234

10.6.4 Matlab中的插值命令235

10.7 数据拟合与函数逼近237

10.7.1 多项式数据拟合237

10.7.2 非线性拟合238

10.7.3 最佳平方逼近240

10.8 数值积分242

10.8.1 非复化的数值积分242

10.8.2 复化数值积分计算243

10.8.3 Romberg积分计算245

10.8.4 Matlab中的积分公式246

10.9 常微分方程初值问题数值解247

10.9.1 单步法248

10.9.2 线性多步法250

10.9.3 预测-校正法254

10.9.4 Matlab中求解常微分方程初值问题数值解的命令255

习题参考答案或提示257

参考文献265