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第0章 绪论1

0.1高等数学概论1

0.1.1高等数学的发展过程1

0.1.2微积分研究的两个基本问题及方法2

0.1.3高等数学与初等数学的比较6

0.1.4学习高等数学的方法6

0.2初识符号计算系统Mathematica7

0.2.1 Mathematica的启动和运行8

0.2.2 Mathematica的输入及运算10

0.2.3 Mathematica的联机帮助系统13

习题0.215

数学欣赏 自然对数的底e的来历与自然对数的引入16

第1章 函数极限与连续18

1.1函数的概念18

1.1.1集合 区间与邻域18

1.1.2函数的概念19

1.1.3函数的几种特性21

习题1.122

1.2初等函数23

1.2.1反函数23

1.2.2复合函数24

1.2.3初等函数25

1.2.4双曲函数与反双曲函数25

习题1.228

1.3数列的极限28

1.3.1数列极限的概念28

1.3.2收敛数列的性质32

1.3.3数列极限的四则运算法则34

1.3.4数列极限存在准则37

习题1.339

1.4函数的极限41

1.4.1自变量趋于无穷大时函数的极限41

1.4.2自变量趋于有限值时函数的极限42

1.4.3函数极限的性质46

习题1.4.447

1.5无穷小量与无穷大量47

1.5.1无穷小量47

1.5.2无穷大量48

1.5.3无穷小量的运算定理50

习题1.552

1.6函数极限的运算法则52

习题1.655

1.7夹逼准则 两个重要极限56

习题1.759

1.8无穷小量的比较60

习题1.862

1.9函数的连续性63

1.9.1函数的连续性63

1.9.2连续函数的运算法则65

1.9.3初等函数的连续性66

1.9.4函数的间断点66

习题1.968

1.10闭区间上连续函数的性质69

习题1.1070

1.11用Mathematica进行函数运算71

1.11.1 Mathematica中的数、运算符、变量与表达式71

1.11.2常用函数73

1.11.3自定义函数74

1.11.4表75

习题1.1176

1.12用Mathematica求极限、函数的间断点76

1.12.1函数求极限76

1.12.2函数的间断点78

习题1.1279

第1章分层次测试题80

数学欣赏 五个重要常数的关系83

第2章 导数与微分85

2.1导数概念85

2.1.1导数概念的引入85

2.1.2导数的定义86

2.1.3求导函数举例88

2.1.4导数的几何意义89

2.1.5函数的可导性与连续性的关系91

习题2.191

2.2求导法则92

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则92

2.2.2复合函数的求导法则94

2.2.3反函数的导数96

2.2.4双曲函数与反双曲函数的导数98

2.2.5初等函数的求导公式小结98

习题2.299

2.3高阶导数100

习题2.3103

2.4隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数104

2.4.1隐函数的导数104

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数105

2.4.3求导举例107

习题2.4109

2.5微分110

2.5.1微分的概念110

2.5.2微分的几何意义111

2.5.3微分的运算法则112

习题2.5113

2.6导数与微分的简单应用114

2.6.1导数的应用114

2.6.2微分在近似计算中的应用117

2.6.3微分在误差估计中的应用119

习题2.6120

2.7用Mathematica进行导数运算120

2.7.1初等函数求导数120

2.7.2隐函数和由参数方程确定的函数求导数122

习题2.7123

第2章分层次测试题124

数学欣赏 微积分成果优先权的争论127

第3章 微分中值定理与导数的应用129

3.1微分中值定理129

3.1.1罗尔（Rolle）定理129

3.1.2拉格朗日（Lagrange）中值定理132

3.1.3柯西（Cauchy）中值定理134

习题3.1135

3.2洛必达（L’Hospital）法则135

3.2.1 0/0型未定式136

3.2.2 ∞/∞型未定式137

3.2.3其他类型的未定式138

习题3.2140

3.3泰勒定理及其应用141

3.3.1泰勒定理141

3.3.2几个常用的麦克劳林公式143

3.3.3泰勒公式的应用146

习题3.3148

3.4函数的单调性与极值148

3.4.1函数单调性的判定148

3.4.2函数的极值151

3.4.3函数的最大值和最小值155

习题3.4157

3.5函数的凹凸性与拐点158

3.5.1函数的凹凸性158

3.5.2曲线的拐点159

习题3.5160

3.6函数图形的描绘161

3.6.1曲线的渐近线161

3.6.2依据函数特性作图163

习题3.6165

3.7导数在经济中的应用——边际分析与弹性分析166

3.7.1边际与边际分析166

3.7.2弹性与弹性分析170

习题3.7177

3.8方程的近似解178

3.8.1二分法178

3.8.2切线法179

习题3.8181

3.9用Mathematica做导数应用题181

习题3.9182

第3章分层次测试题183

数学欣赏 法国大数学家——柯西、拉格朗日、罗尔186

第4章 不定积分188

4.1不定积分的概念与性质188

4.1.1原函数与不定积分的概念188

4.1.2不定积分的性质190

4.1.3基本积分公式191

习题4.1192

4.2换元积分法192

4.2.1第一类换元积分法192

4.2.2第二类换元积分法197

习题4.2200

4.3分部积分法202

习题4.3205

4.4几种特殊类型函数的积分206

4.4.1有理函数的积分206

4.4.2三角函数有理式的积分210

4.4.3简单无理函数的积分212

4.4.4积分表的使用212

习题4.4213

数学欣赏 利玛窦与中西方数学文化的融合215

第5章 定积分217

5.1定积分的概念与性质217

5.1.1定积分的实际背景217

5.1.2定积分的概念219

5.1.3定积分的几何意义220

5.1.4定积分的基本性质221

习题5.1224

5.2微积分基本公式224

5.2.1积分上限函数及其导数225

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式227

习题5.2228

5.3定积分的换元积分法230

习题5.3232

5.4定积分的分部积分法232

习题5.4234

5.5定积分的近似计算235

5.5.1梯形法235

5.5.2抛物线法236

习题5.5238

5.6广义积分238

5.6.1无穷限广义积分238

5.6.2无界函数的广义积分240

5.6.3伽玛（Gamma）函数242

习题5.6243

5.7用Mathematica计算一元函数的积分244

5.7.1定积分的近似计算244

5.7.2不定积分与定积分的计算245

习题5.7245

数学欣赏 莱布尼茨与康熙大帝246

第6章 定积分的应用248

6.1定积分的微元法248

6.2定积分的几何应用249

6.2.1平面图形的面积249

6.2.2体积253

6.2.3平面曲线的弧长255

习题6.2257

6.3定积分的物理应用259

6.3.1功259

6.3.2液体对平面薄板的压力260

6.3.3引力261

习题63262

6.4定积分在经济管理中的应用263

6.4.1已知总产量的变化率求总产量263

6.4.2已知边际函数求总量函数263

习题6.4265

6.5用Mathematica做定积分应用题265

6.5.1求平面图形的面积265

6.5.2求平面曲线的弧长266

6.5.3求旋转体的体积266

习题6.5267

第4、5、6章分层次测试题268

数学欣赏 中国科学院院士鼓励学生参与数学建模272

第7章 空间解析几何与矢量代数274

7.1空间直角坐标系与矢量的概念274

7.1.1空间直角坐标系274

7.1.2矢量的概念276

习题7.1278

7.2矢量的坐标279

7.2.1矢量在轴上的投影279

7.2.2矢径的坐标表示280

7.2.3矢量→M1M2的坐标表示280

7.2.4坐标表示下的矢量线性运算280

7.2.5矢量的模与方向余弦的坐标表示281

习题7.2283

7.3矢量的数量积 矢量积混合积283

7.3.1矢量的数量积283

7.3.2矢量的矢量积286

7.3.3矢量的混合积288

习题7.3289

7.4平面与直线290

7.4.1平面290

7.4.2空间直线295

习题7.4301

7.5曲面及其方程302

7.5.1曲面及其方程302

7.5.2旋转曲面303

7.5.3柱面305

7.5.4二次曲面306

习题7.5311

7.6空间曲线及其方程312

7.6.1空间曲线312

7.6.2空间曲线在坐标面上的投影曲线314

习题7.6315

7.7用Mathematica做三维图形及动画315

7.7.1二元函数作图315

7.7.2二次曲面的图形316

7.7.3相交曲面作图316

7.7.4动画制作317

习题7.7317

第7章分层次测试题318

数学欣赏 几何学奇观——三种几何并存321

附录A初等数学常用公式323

附录B基本初等函数的图形及其主要性质327

附录C二阶、三阶行列式简介330

附录D极坐标、参数方程与复数简介332

附录E几种常用的曲线335

附录F符号计算系统Mathematica的常用系统函数338

附录G积分表349

部分习题参考答案358