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第一章 基本概念1

1.1 定义和例子1

1.1.1 方程和解1

1.1.2 通解3

1.1.3 初值问题4

1.1.4 曲线族5

习题1.17

1.2 几何解释7

习题1.211

第二章 初等积分法12

2.1 变量分离方程12

习题2.118

2.2 齐次方程20

习题2.224

2.3 一阶线性方程24

2.3.1 一阶齐次线性微分方程的通解25

2.3.2 一阶非齐次线性微分方程的通解——常数变易法25

2.3.3 解的性质26

2.3.4 例子27

2.3.5 不连续输入的情形30

习题2.331

2.4 Bernoulli方程和Riccati方程32

2.4.1 Bernoulli方程33

2.4.2 Riccati方程35

习题2.437

2.5 恰当方程及积分因子法37

2.5.1 恰当方程37

2.5.2 积分因子法40

2.5.3 分组求积分因子法46

习题2.548

2.6 隐式微分方程49

2.6.1 可解出y（或x）的方程——微分法50

2.6.2 不显含x（或y）的方程——参数法55

2.6.3 一般情形——参数法57

习题2.659

2.7 可降阶的高阶方程59

习题2.761

2.8 应用举例62

习题2.868

第三章 线性微分方程组70

3.1 矩阵分析初步70

3.1.1 向量和矩阵的范数70

3.1.2 向量和矩阵序列的极限72

3.1.3 矩阵函数及其连续、导数和积分74

3.1.4 矩阵函数序列和级数76

习题3.177

3.2 一般理论77

3.2.1 存在和唯一性定理79

3.2.2 齐次线性微分方程组82

3.2.3 非齐次线性微分方程组90

习题3.293

3.3 常系数线性微分方程组94

3.3.1 矩阵指数函数的定义和性质95

3.3.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵96

3.3.3 矩阵指数函数的求法97

3.3.4 基解矩阵的求法101

3.3.5 不变子空间118

习题3.3128

第四章 高阶线性微分方程132

4.1 一般理论132

4.1.1 存在和唯一性定理133

4.1.2 高阶线性微分方程的一般理论134

习题4.1139

4.2 常系数高阶线性微分方程141

4.2.1 常系数齐次线性微分方程141

4.2.2 非齐次线性方程——待定系数法144

4.2.3 Euler方程154

4.2.4 Laplace变换法157

习题4.2159

4.3 幂级数解法161

4.3.1 常点情形——幂级数解法162

4.3.2 奇点情形——广义幂级数解法166

4.3.3 变换法——求变系数线性微分方程的有限形式解170

习题4.3172

4.4 边值问题173

4.4.1 Sturm比较定理173

4.4.2 二阶线性微分方程边值问题的特征值177

习题4.4182

第五章 微分方程的基本定理184

5.1 Picard存在和唯一性定理184

5.1.1 Picard存在和唯一性定理185

5.1.2 存在和唯一性的进一步讨论192

习题5.1197

5.2 Peano存在性定理的证明198

习题5.2204

5.3 解不唯一的情形——奇解205

5.3.1 奇解205

5.3.2 包络209

习题5.3215

5.4 解的延伸216

习题5.4225

5.5 解对初值与参数的连续依赖性226

习题5.5231

5.6 解对初值和参数的可微性232

习题5.6239

第六章 定性理论初步240

6.1 动力系统概念240

习题6.1243

6.2 Lyapunov稳定性243

6.2.1 稳定性定义244

6.2.2 按线性近似判别稳定性247

6.2.3 Lyapunov直接方法248

6.2.4 一维动力系统253

习题6.2255

6.3 平面动力系统257

6.3.1 奇点258

6.3.2 极限环269

6.3.3 一个例子——摆方程272

习题6.3277

第七章 一阶偏微分方程279

7.1 基本概念279

习题7.1280

7.2 首次积分281

习题7.2284

7.3 一阶拟线性偏微分方程的Cauchy问题284

习题7.3288

7.4 一阶拟线性偏微分方程的通解289

习题7.4294

部分习题答案及提示295

参考文献309