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上篇 数学文化3

第1章 数学概述3

1.1 数学的定义与内容3

1.1.1 数学的诸多定义3

1.1.2 数学科学的内容5

1.2 数学发展史概况7

1.2.1 数学发源时期7

1.2.2 初等数学时期8

1.2.3 近代数学时期10

1.2.4 现代数学时期11

1.3 数学科学的特点与价值11

1.3.1 数学科学的特点11

1.3.2 数学科学的价值14

1.4 数学与各学科的联系20

1.4.1 数学与哲学20

1.4.2 数学与科学21

1.4.3 数学与艺术22

思考题127

拓展阅读127

第2章 常用的数学思想与方法简介30

2.1 公理化方法30

2.1.1 公理化方法的产生和发展30

2.1.2 公理系统构造的三性问题32

2.1.3 公理化方法的意义和作用33

2.2 类比法34

2.3 归纳法与数学归纳法36

2.3.1 归纳法36

2.3.2 数学归纳法38

2.4 数学构造法39

2.5 化归法42

2.5.1 特殊化与一般化43

2.5.2 关系映射反演方法44

2.6 数学模型方法45

思考题248

拓展阅读249

第3章 三次数学危机52

3.1 悖论举例52

3.2 第一次数学危机55

3.2.1 无理数与毕达哥拉斯悖论55

3.2.2 第一次数学危机的解决57

3.3 第二次数学危机59

3.3.1 无穷小与贝克莱悖论59

3.3.2 第二次数学危机的解决61

3.4 第三次数学危机62

3.4.1 集合论与罗素悖论62

3.4.2 第三次数学危机的解决63

3.5 数学的三大学派65

3.5.1 逻辑主义学派65

3.5.2 直觉主义学派66

3.5.3 形式主义学派66

思考题367

拓展阅读368

第4章 数学美学70

4.1 数学与美学70

4.1.1 数学美的概念70

4.1.2 数学美的一般特征71

4.2 数学美的内容73

4.2.1 简洁美74

4.2.2 对称美75

4.2.3 和谐美77

4.2.4 奇异美79

4.3 数学美的地位和作用83

思考题485

拓展阅读485

第5章 数学国际88

5.1 世界数学中心及其变迁88

5.2 国际数学组织与活动91

5.2.1 国际数学联盟91

5.2.2 国际数学家大会92

5.3 国际数学大奖94

5.3.1 菲尔兹奖——青年数学精英奖94

5.3.2 沃尔夫奖——数学终身成就奖96

5.3.3 其他数学奖97

5.4 国际数学竞赛99

5.4.1 国际数学奥林匹克竞赛99

5.4.2 国际大学生数学建模竞赛100

思考题5100

拓展阅读5101

第6章 数学的新进展之一——分形与混沌104

6.1 分形几何学104

6.1.1 海岸线的长度104

6.1.2 柯克曲线及其他几何分形106

6.1.3 分数维与分形几何109

6.2 混沌动力学112

6.2.1 洛伦兹的天气预报与混沌的概念112

6.2.2 产生混沌的简单模型——移位映射113

6.2.3 倍周期分支通向混沌——逻辑斯蒂映射114

6.3 分形与混沌的应用及哲学思考115

6.3.1 应用举例115

6.3.2 哲学思考117

思考题6118

拓展阅读6119

下篇 数学的应用123

第7章 代数学应用专题123

7.1 百鸡问题及其他——初等数论之应用123

7.1.1 百鸡问题123

7.1.2 同余的概念123

7.1.3 物不知数124

7.1.4 “物不知数”问题的解法125

7.1.5 “百鸡问题”的解法127

7.2 暗算之保密通信——数论及线性代数之应用129

7.2.1 加密通信简介129

7.2.2 公开密钥体制130

7.2.3 RSA公钥方案的实施与实例130

7.2.4 矩阵和行列式的概念131

7.2.5 加密信息的矩阵传递136

7.3 几何作图三大难题的解决——近世代数之应用137

7.3.1 几何作图的三大难题137

7.3.2 可构造数域与尺规作图138

7.3.3 几何作图三大难题的解答142

习题7143

第8章 几何学应用专题146

8.1 图形的美与实用——初等几何之应用146

8.1.1 黄金分割的来源及应用实例146

8.1.2 方圆合一的自然规则149

8.1.3 多边形内角和与拼装技术150

8.1.4 正多面体的种类及应用150

8.2 远光灯、机械曲线——解析几何之应用152

8.2.1 解析几何之圆锥曲线简介152

8.2.2 圆锥曲线的应用154

8.2.3 远光灯的原理解析156

8.2.4 旋轮线（最速降线）的产生及应用157

8.3 莫比乌斯带、迷宫及其他——拓扑学之应用160

8.3.1 拓扑学概述160

8.3.2 莫比乌斯带的性质及应用161

8.3.3 迷宫的走法162

8.3.4 拓扑学的应用举例163

8.4 网络的最短路径——微分几何之应用164

8.4.1 微分几何简介164

8.4.2 不同寻常的最短路径164

习题8166

第9章 分析学应用专题168

9.1 经济学中的边际效用——导数之应用168

9.1.1 边际效用168

9.1.2 函数169

9.1.3 极限173

9.1.4 导数176

9.1.5 导数的应用179

9.2 不规则平面图形的面积和旋转体的体积——积分之应用182

9.2.1 问题的提出182

9.2.2 不定积分183

9.2.3 定积分185

9.2.4 定积分的应用188

9.3 音乐中的数学——级数的应用192

9.3.1 简单声音的数学公式193

9.3.2 音乐结构的数学本质193

9.3.3 音乐性质的数学解释195

9.3.4 数学分析在声音合成领域中的应用195

9.4 刑侦学中的数学——微分方程之应用196

9.4.1 微分方程简介196

9.4.2 死亡时间的确定197

9.4.3 血液中酒精浓度的测定198

习题9199

第10章 概率统计应用专题201

10.1 直觉的误区——概率之应用202

10.1.1 问题的提出202

10.1.2 直觉的误区——古典概率203

10.1.3 会面问题——几何概率208

10.1.4 无序中的有序——统计概率208

10.1.5 主观概率210

10.2 正态分布——最自然的分布211

10.2.1 随机变量及其概率分布211

10.2.2 期望、方差和标准差212

10.2.3 正态分布213

10.2.4 百年灯泡存在的原因215

10.2.5 医院床位紧缺问题的分析216

10.3 预言美国总统选举结果——随机抽样之应用217

10.3.1 统计学概述217

10.3.2 抽样调查218

10.3.3 美国总统选举前的民意测验219

10.4 池塘里鱼的数量问题——最大似然估计之应用221

10.4.1 由样本估计总体221

10.4.2 最大似然估计法的原理224

10.4.3 池塘里鱼的数量问题225

10.5 医学中的药效问题——假设检验之应用226

10.5.1 假设检验226

10.5.2 药物检测228

习题10230

第11章 运筹学应用专题233

11.1 对抗与合作——博弈论233

11.1.1 博弈的含义233

11.1.2 个人利益与集体利益的冲突——囚徒困境236

11.1.3 搭便车——智猪博弈240

11.1.4 狭路相逢勇者胜——懦夫博弈242

11.1.5 双赢或双亏——情侣博弈和安全博弈243

11.1.6 混合策略244

11.1.7 动态博弈249

11.2 资源的合理利用——规划论252

11.2.1 生产计划问题——线性规划253

11.2.2 背包问题——整数线性规划255

11.3 四色问题——图论256

习题11257

习题答案或提示260

参考文献266