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第一章 数学分析中的几个话题1

1.1初等数学1

1.1.1数值、变量和初等函数1

1.1.2二次与三次方程5

1.1.3相似图形的面积，以椭圆为例8

1.1.4二次代数曲线10

1.2微分和积分运算14

1.2.1微分法则14

1.2.2中值定理15

1.2.3微分形式不变性16

1.2.4积分法则17

1.2.5泰勒级数17

1.2.6复变量19

1.2.7函数的近似表达式21

1.2.8雅可比行列式·函数无关性·多重积分的换元法22

1.2.9函数的线性无关·朗斯基行列式23

1.2.10积分23

1.2.11曲线族的微分方程25

1.3向量分析27

1.3.1向量代数27

1.3.2向量函数29

1.3.3向量场30

1.3.4三个经典的积分定理31

1.3.5拉普拉斯方程32

1.3.6行列式的微分32

1.4微分代数的符号33

1.4.1微分变量·全微分33

1.4.2乘积和复合函数的高阶微分34

1.4.3多元微分函数34

1.4.4微分方程的空间曲面35

1.4.5换元法求导37

1.5变分法39

1.5.1最小作用量原理39

1.5.2多元欧拉-拉格朗日方程40

习题一40

第二章 数学物理问题45

2.1导言45

2.2自然现象46

2.2.1人口模型46

2.2.2生态学：放射性的废弃物47

2.2.3开普勒（Kepler）定律…牛顿万有引力定律48

2.2.4地表的自由落体运动49

2.2.5流星体50

2.2.6降雨模型51

2.3物理学和工程学52

2.3.1牛顿冷却模型52

2.3.2机械振动·钟摆59

2.3.3传动轴的失效62

2.3.4 van der Pol方程64

2.3.5电报方程65

2.3.6电动力学65

2.3.7狄拉克方程66

2.3.8流体动力学67

2.3.9 Navier-Stokes方程68

2.3.10灌溉系统模型68

2.3.11磁流体动力学69

2.4扩散现象69

2.4.1线性热传导方程69

2.4.2非线性热传导方程71

2.4.3 Burgers方程和Korteweg-de Vries方程72

2.4.4经济学数学模型72

2.5生物数学73

2.5.1巧妙的蘑菇73

2.5.2肿瘤的生长模型75

2.6波现象75

2.6.1绳索的微小振动76

2.6.2振动膜78

2.6.3极小曲面80

2.6.4振动细长杆和板81

2.6.5非线性波82

2.6.6 Chaplygin方程和Tricomi方程84

习题二84

第三章 常微分方程：经典方法87

3.1简介和基础方法87

3.1.1微分方程·初值问题87

3.1.2方程y（n） = f（x）的积分89

3.1.3齐次方程89

3.1.4齐次性的不同种类92

3.1.5降阶93

3.1.6微分线性化94

3.2一阶方程94

3.2.1可分离变量的方程94

3.2.2全微分方程95

3.2.3积分因子（A.Clairaut，1739）96

3.2.4里卡蒂方程98

3.2.5伯努利方程101

3.2.6齐次线性微分方程102

3.2.7非齐次线性方程·常数变易法102

3.3二阶线性方程104

3.3.1齐次方程：叠加性104

3.3.2齐次方程：等价性质105

3.3.3齐次方程：常系数108

3.3.4非齐次微分方程：常数变易法109

3.3.5贝塞尔方程和贝塞尔函数113

3.3.6超几何方程114

3.4高阶线性方程115

3.4.1齐次方程·基础解系115

3.4.2非齐次方程·常数变易法116

3.4.3常系数方程116

3.4.4欧拉方程118

3.5一阶微分方程组118

3.5.1微分方程组的一般属性118

3.5.2首次积分119

3.5.3常系数的线性方程组124

3.5.4方程组的常数变易法125

习题三128

第四章 一阶偏微分方程131

4.1简介131

4.2齐次线性方程132

4.3非齐次方程的特解134

4.4拟线性方程135

4.5齐次方程组138

习题四142

第五章 二阶线性偏微分方程145

5.1多元方程145

5.1.1固定点的分类145

5.1.2伴随线性微分算子147

5.2含两个自变量的方程的分类149

5.2.1特征值，三种类型方程149

5.2.2双曲型方程的标准形式151

5.2.3抛物型方程的标准形式152

5.2.4椭圆型方程的标准形式153

5.2.5混合型方程154

5.2.6非线性方程的类型154

5.3包含两个变量的双曲型方程的积分155

5.3.1 d’Alembert解155

5.3.2可化为波动方程的微分方程156

5.3.3欧拉方法161

5.3.4拉普拉斯级联法163

5.4初值问题165

5.4.1波动方程165

5.4.2非齐次波动方程166

5.5混合问题，变量分离167

5.5.1端部固定的弦的振动168

5.5.2热传导方程的混合问题171

习题五173

第六章 非线性常微分方程175

6.1简介175

6.2群变换176

6.2.1平面上只含一个参数的群176

6.2.2群生成元和李方程177

6.2.3指数映射179

6.2.4不变量和不变方程180

6.2.5典型变量183

6.3一阶微分方程的对称性184

6.3.1群生成元的首次延拓184

6.3.2对称群的定义和主要性质185

6.3.3给定对称性的方程187

6.4利用对称求解一阶微分方程的积分189

6.4.1李积分因子189

6.4.2利用典型变量求积分191

6.4.3不变解系195

6.4.4由不变解系给出的通解196

6.5二阶方程197

6.5.1群生成元的二次延拓·对称的计算197

6.5.2李代数199

6.5.3二维李代数的标准形式201

6.5.4李积分法202

6.5.5已知一个特解的线性方程的积分207

6.5.6李的线性化验证209

6.6高阶方程213

6.6.1不变解·欧拉猜想的推导213

6.6.2积分因子（N.H.Ibragimov，2006）215

6.6.3三阶方程的线性化222

6.7非线性叠加230

6.7.1导言230

6.7.2非线性叠加的重要定理231

6.7.3非线性叠加的例子236

6.7.4使用非线性叠加的方程组积分243

习题六245

第七章 非线性偏微分方程249

7.1对称249

7.1.1对称群的定义和计算250

7.1.2解的群变换254

7.2群不变解255

7.2.1简介255

7.2.2 Burgers方程257

7.2.3非线性边值问题259

7.2.4灌溉系统的不变解262

7.2.5肿瘤生长模型的不变解264

7.2.6非线性光学的例子266

7.3不变性和守恒定律267

7.3.1简介267

7.3.2预备知识270

7.3.3诺特定理271

7.3.4高阶拉格朗日算子272

7.3.5常微分方程组的守恒定律272

7.3.6诺特定理的一般化274

7.3.7来自经典力学的例子275

7.3.8爱因斯坦能量公式的推导277

7.3.9狄拉克方程的守恒定律278

习题七279

第八章 广义函数或分布283

8.1广义函数简介283

8.1.1启发式思考283

8.1.2分布的定义和举例285

8.1.3用δ函数表示的极限286

8.2分布的运算287

8.2.1函数的乘法287

8.2.2微分287

8.2.3分布的直积287

8.2.4卷积288

8.3分布△（r2-n）289

8.3.1球面上的平均值289

8.3.2拉普拉斯方程△v（r）=0的解290

8.3.3分布△（r2-n）的计算291

8.4分布的变换292

8.4.1线性换元法292

8.4.2 δ函数的换元法293

8.4.3任意的群变换294

8.4.4分布的无穷小变换295

习题八296

第九章 不变原理和基本解297

9.1简介297

9.2不变原理298

9.2.1不变原理的公式表达298

9.2.2常系数线性方程的基本解298

9.2.3拉普拉斯方程的应用299

9.2.4热传导方程的应用301

9.3热传导方程的柯西问题302

9.3.1柯西问题的基本解302

9.3.2用不变原理求解柯西问题基本解303

9.3.3柯西问题的解305

9.4波动方程305

9.4.1微分形式的初步知识305

9.4.2相伴齐次方程的分布309

9.4.3波动方程基本解的对称性定义311

9.4.4基本解的求解313

9.4.5柯西问题的解314

9.5变系数方程315

习题九315

参考答案317

参考文献327

索引331