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第1章 绪论1

第2章 函数3

2.1 学习要求3

2.2 内容提要3

2.2.1 函数3

2.2.2 函数的四种特性4

2.2.3 基本初等函数4

2.2.4 常见的几种函数5

2.3 主要解题方法5

2.3.1 求函数定义域的方法5

2.3.2 判断两个函数是否相同的方法6

2.3.3 判断函数奇偶性的方法6

2.3.4 将函数分解成基本初等函数或简单函数的方法7

2.3.5 建立实际问题的函数模型的方法7

2.4 同步训练题8

3.2.2 函数极限9

3.2.1 数列极限9

第3章 极限与连续9

3.2 内容提要9

3.1 学习要求9

3.2.3 极限的性质11

3.2.4 极限的四则运算法则11

3.2.5 两个重要极限11

3.2.6 无穷小量与无穷大量11

3.2.7 无穷小量的运算12

3.2.8 函数的连续性12

3.3 主要解题方法14

3.3.1 求数列极限的方法14

3.3.2 求函数极限的方法15

3.3.3 求分段函数在分段点处的极限的方法17

3.3.5 判断函数的连续性的方法18

3.3.4 利用已知极限求未知函数的方法18

3.4 同步训练题19

第4章 导数与微分21

4.1 学习要求21

4.2 内容提要21

4.2.1 导数的概念21

4.2.2 曲线的切线22

4.2.3 变化率22

4.2.4 可导与连续的关系22

4.2.5 高阶导数22

4.2.6 微分与线性主部22

4.2.7 求导公式与法则，微分公式与法则22

4.2.8 微分近似公式22

4.3.3 求显函数的导数的方法24

4.3.2 利用导数定义讨论函数的连续性与可导性的方法24

4.3.1 利用导数定义求导数的方法24

4.3 主要解题方法24

4.3.4 求隐函数的导数的方法26

4.3.5 求由参数方程所表示的函数的导数的方法26

4.3.6 求函数的微分的方法26

4.3.7 求函数的高阶导数的方法27

4.4 同步训练题27

第5章 导数的应用29

5.1 学习要求29

5.2 内容提要29

5.2.1 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理29

5.2.2 洛必达法则30

5.2.3 函数的单调性定理30

5.2.4 函数的极值、极值点与驻点30

5.3.1 用洛必达法则求未定式的极限的方法31

5.3 主要解题方法31

5.2.7 曲线的水平渐近线、垂直渐近线与渐近线31

5.2.5 函数的最大值与最小值31

5.2.6 函数图形的下凸、上凸与拐点31

5.3.2 求函数的单调区间与极值的方法32

5.3.3 利用函数的单调性来证明不等式的方法33

5.3.4 求函数的最大值与最小值的方法34

5.3.5 求实际问题的最大值、最小值的方法34

5.3.6 求曲线的拐点及凸向区间的方法35

5.3.7 求曲线的渐近线的方法35

5.3.8 一元函数图形的描绘方法35

5.4 同步训练题36

第6章 不定积分38

6.1 学习要求38

6.2 内容提要38

6.2.1 原函数与不定积分38

6.3 主要解题方法39

6.3.1 直接积分法39

6.2.2 不定积分的基本积分公式39

6.2.4 分部积分公式39

6.2.3 不定积分的性质39

6.3.2 第一换元积分法(凑微分法)40

6.3.3 第二换元积分法41

6.3.4 分部积分法42

6.4 同步训练题44

第7章 定积分45

7.1 学习要求45

7.2 内容提要45

7.2.1 曲边梯形45

7.2.2 定积分的概念与定积分的几何意义45

7.2.3 定积分的性质46

7.2.6 微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）47

7.2.5 无穷区间上的广义积分47

7.2.4 变上限的定积分47

7.2.7 定积分的计算48

7.3 主要解题方法48

7.3.1 变上限的定积分对上限的求导方法48

7.3.2 利用换元积分法计算定积分的方法49

7.3.3 利用分部积分法计算定积分的方法49

7.3.4 利用函数的奇偶性计算定积分的方法51

7.3.5 无穷区间上的广义积分的计算方法51

7.4 同步训练题52

第8章 定积分的应用53

8.1 学习要求53

8.2 内容提要53

8.2.1 定积分的微元法53

8.2.2 面积微元与体积微元53

8.3.1 求平面图形的面积的方法54

8.3 主要解题方法54

8.2.3 弧微元与平面曲线弧微分公式54

8.3.2 求旋转体的体积的方法56

8.3.3 求曲线的弧长的方法56

8.3.4 求变力所做的功的方法56

8.3.5 求液体的侧压力的方法57

8.4 同步训练题57

第9章 常微分方程59

9.1 学习要求59

9.2 内容提要59

9.2.1 微分方程59

9.2.2 常微分方程59

9.2.3 微分方程的阶、解与通解59

9.2.4 初始条件与特解59

9.2.8 二阶常系数齐次线性微分方程60

9.2.7 线性微分方程60

9.2.6 可分离变量的微分方程60

9.2.5 线性相关与线性无关60

9.2.9 二阶常系数非齐次线性微分方程61

9.2.10 二阶线性微分方程解的结构61

9.2.11 二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程与特征根61

9.3 主要解题方法61

9.3.1 一阶微分方程的可分离变量法61

9.3.2 一阶线性微分方程的常数变易法62

9.3.3 高阶微分方程的降阶法64

9.3.4 常系数齐次线性微分方程的特征方程法64

9.3.5 常系数非齐次线性微分方程的待定系数法65

9.3.6 用微分方程解决实际问题的举例67

9.4 同步训练题69

10.2 内容提要71

10.2.1 空间直角坐标系71

10.1 学习要求71

第10章 空间解析几何与向量71

10.2.2 向量72

10.2.3 向量的模与单位向量72

10.2.4 自由向量与向径72

10.2.5 向量的线性运算72

10.2.6 向量的坐标73

10.2.9 向量的数量积与向量积74

10.2.8 向量的方向余弦74

10.2.7 两点间距离公式74

10.2.10 平面方程75

10.2.11 直线方程76

10.2.12 曲面方程77

10.2.13 柱面77

10.2.14 旋转曲面78

10.2.15 二次曲面78

10.3.1 向量的运算79

10.2.16 空间曲线在坐标面上的投影79

10.3 主要解题方法79

10.3.2 利用向量运算建立平面方程或直线方程的方法80

10.3.3 求空间曲线在坐标面上的投影的方法82

10.4 同步训练题83

第11章 多元函数微分学85

11.1 学习要求85

11.2 内容提要85

11.2.1 二元函数85

11.2.2 二元函数的几何意义85

11.2.3 二元函数的极限与连续85

11.2.4 偏导数的定义86

11.2.5 高阶偏导数87

11.2.6 复合函数求偏导数的公式87

11.2.8 隐函数的微分法88

11.2.7 全微分88

11.2.9 曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程89

11.2.10 二元函数的极值与驻点90

11.2.11 条件极值与拉格朗日乘数法90

11.3 主要解题方法91

11.3.1 求二元函数的定义域的方法91

11.3.2 求多元函数的偏导数的方法91

11.3.3 利用公式求隐函数的导数或偏导数的方法92

11.3.4 偏导数的应用92

11.4 同步训练题96

第12章 多元函数积分学98

12.1 学习要求98

12.2 内容提要98

12.2.1 二重积分及其几何意义98

12.2.2 二重积分的性质98

12.2.5 曲线积分与路径无关99

12.2.3 对坐标的曲线积分99

12.2.4 对坐标的曲线积分的性质99

12.2.6 格林定理100

12.2.7 曲线积分与路径无关的定理100

12.3 主要解题方法100

12.3.1 在直角坐标系下二重积分的计算方法100

12.3.2 在直角坐标系下二重积分的交换积分次序的方法103

12.3.3 在极坐标系下二重积分的计算方法104

12.3.4 对坐标的曲线积分的计算方法105

12.4 同步训练题107

第13章 无穷级数109

13.1 学习要求109

13.2 内容提要109

13.2.1 数项级数109

13.2.4 数项级数的性质110

13.2.5 正项级数及其收敛判别法110

13.2.3 级数的收敛、发散与级数和110

13.2.2 前n项部分和与部分和数列110

13.2.6 交错级数与莱布尼兹判别法111

13.2.7 绝对收敛与条件收敛111

13.2.8 两个重要级数111

13.2.9 幂级数112

13.2.10 泰勒级数与麦克劳林级数113

13.2.11 常用初等函数的麦克劳林展开式114

13.2.12 傅里叶级数115

13.3 主要解题方法116

13.3.1 数项级数敛散性的判别方法116

13.3.2 求幂级数的收敛区间或收敛域的方法118

13.3.3 将函数展开成幂级数的方法118

13.3.4 求幂级数的和函数的方法120

13.3.5 幂级数的应用121

13.3.6 傅里叶级数的展开法122

13.4 同步训练题125

第14章 矩阵127

14.1 学习要求127

14.2 内容提要127

14.2.1 矩阵的概念127

14.2.2 同型矩阵与矩阵相等128

14.2.3 矩阵的加法、数乘与乘法的定义128

14.2.4 矩阵的加法、数乘与乘法的运算性质129

14.2.5 转置矩阵与单位矩阵129

14.2.6 转置矩阵的运算性质129

14.2.7 矩阵的初等行变换、初等变换与初等矩阵130

14.2.8 阶梯形矩阵、矩阵的秩与满秩矩阵130

14.2.11 上（下）三角形行列式131

14.2.10 行列式的性质131

14.2.9 方阵的行列式的定义131

14.2.12 克拉默(Cramer)法则132

14.2.13 可逆矩阵与逆矩阵132

14.2.14 逆矩阵的性质133

14.2.15 线性方程组与增广矩阵133

14.2.16 判定线性方程组是否有解的定理134

14.3 主要解题方法134

14.3.1 矩阵的乘法运算134

14.3.2 运用初等行变换求逆矩阵的方法135

14.3.3 运用逆矩阵解矩阵方程的方法136

14.3.4 化上（下）三角形行列式求行列式的方法138

14.3.5 用高斯消元法求解线性方程组的方法138

14.4 同步训练题140

同步训练题答案与提示143

参考文献149