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第一章 函数用无穷级数和无穷乘积展开1

1.1 伯努利（Bernoulli）多项式与伯努利数1

1.2 欧勒（Euler）多项式与欧勒数4

1.3 欧勒麦克洛临（Euler-Maclaurin）公式6

1.4 拉格朗日（Lagrange）展开公式10

1.5 半纯函数的有理分式展开．米塔格累夫勒（Mittag-Leffler）定理13

1.6 无穷乘积16

1.7 函数的无穷乘积展开．外氏（Weierstrass）定理19

1.8 渐近展开22

1.9 拉普拉斯（Laplace）积分的渐近展开．瓦特孙（Watson）引理26

1.10 用正交函数组展开27

习题31

第二章 二阶线性常微分方程36

2.1 二阶线性常微分方程的奇点36

2.2 方程常点邻域内的解36

2.3 方程奇点邻域内的解39

2.4 正则解．正则奇点42

2.5 夫罗比尼斯（Frobenius）方法46

2.6 无穷远点47

2.7 傅克斯（Fuchs）型方程48

2.8 具有五个正则奇点的傅克斯型方程49

2.9 具有三个正则奇点的傅克斯型方程51

2.10 非正则奇点．正则形式解54

2.11 非正则奇点．常规解和次常规解55

2.12 积分解法．基本原理58

2.13 拉普拉斯型方程和拉氏变换60

2.14 欧勒变换63

习题66

第三章 伽马函数69

3.1 伽马函数的定义69

3.2 递推关系69

3.3 欧勒无穷乘积公式70

3.4 外氏（Weierstrass）无穷乘积72

3.5 伽马函数与三角函数的联系73

3.6 乘积公式73

3.7 围道积分75

3.8 欧勒第一类积分．B函数76

3.9 双周围道积分77

3.10 狄里希累（Dirichlet）积分78

3.11 Γ函数的对数微商79

3.12 渐近展开式82

3.13 渐近展开式的另一导出法83

3.14 里曼（Riemann）ζ函数84

3.15 ζ函数的函数方程85

3.16 s为整数时ζ（s,a）之值86

3.17 厄密（Hermite）公式87

3.18 与伽马函数的联系89

3.19 ζ函数的欧勒乘积91

3.20 ζ函数的里曼积分92

3.21 伽马函数的渐近展开的又一导出法93

3.22 ζ函数的计算94

习题95

第四章 超几何函数100

4.1 超几何级数和超几何函数100

4.2 邻次函数之间的关系101

4.3 超几何方程的其他解用超几何函数表示103

4.4 指标差为整数时超几何方程的第二解106

4.5 超几何函数的积分表示110

4.6 超几何函数的巴恩斯（Barnes）积分表示112

4.7 F（α,β,γ,1）之值115

4.8 在奇点0,1,∞附近的基本解之间的关系．解析开拓117

4.9 γ-α-β,α-β是整数的情形119

4.10 雅可毕（Jacobi）多项式124

4.11 切比谢夫（Чебышев）多项式127

4.12 二次变换130

4.13 库末（Kummer）公式以及由它导出的求和公式136

4.14 参数大时的渐近展开137

4.15 广义超几何级数140

4.16 两个变数的超几何级数141

4.17 F1和F2的变换公式144

4.18 可约化的情形145

习题149

第五章 勒让德函数154

5.1 勒让德（Legendre）方程154

5.2 勒让德多项式155

5.3 Pn（x）的生成函数.微商表示——罗巨格（Rodrigues）公式157

5.4 Pn（x）的积分表示158

5.5 Pn（x）的递推关系159

5.6 勒让德多项式作为完备正交函数组160

5.7 Pn（x）的零点163

5.8 第二类勒让德函数Qn（x）164

5.9 Qn（x）的递推关系168

5.10 函数1/x-t用勒让德函数展开.诺埃曼（Neumann）展开168

5.11 连带勒让德函数P？（x）170

5.12 P？（x）的正交关系172

5.13 P？（x）和Q？（x）的递推关系174

5.14 加法公式175

5.15 球面谐函数Ylm（θ,？）177

5.16 普遍的连带勒让德函数P？（z）180

5.17 Q？（z）183

5.18 割缝-∞＜x＜1上P？（x）的定义186

5.19 割缝-∞＜x＜1上Q？（x）的定义188

5.20 Pv（z）和P？（z）的其他积分表示190

5.21 加法公式194

5.22 P？（cosθ）和Q？（cosθ）当v→∞时的渐近展开式196

5.23 特种球多项式C？（x）199

习题201

第六章 合流超几何函数214

6.1 合流超几何函数214

6.2 邻次函数间的关系216

6.3 惠泰克（Whittaker）方程和惠泰克函数Mk,m（z）216

6.4 积分表示218

6.5 惠泰克函数Wk,m（z）220

6.6 Wk,m（z）当z→∞时的渐近展开222

6.7 Wk,m（z）的巴恩斯积分表示224

6.8 W±k,m（±z）与M±k,±m（±z）的关系．F（α,γ,z）的渐近展开．斯托克斯（Stokes）现象226

6.9 γ（或2m）为整数的情形228

6.10 ｜α｜,｜γ｜很大时F（α,γ,z）的渐近展开230

6.11 可约化为合流超几何方程的微分方程230

6.12 韦伯（Weber）方程．抛物线柱函数Dn（z）232

6.13 厄密（Hermite）函数和厄密多项式235

6.14 拉革尔（Laguerre）多项式237

6.15 其他一些可用惠泰克函数表示的特殊函数240

习题242

第七章 贝塞耳函数250

7.1 贝塞耳（Bessel）方程及其来源．与合流超几何方程的关系250

7.2 第一类贝塞耳函数J±v（z）,2v≠整数251

7.3 半奇数阶贝塞耳函数Jn+1/2(z)(n=0,±1,±2,…)253

7.4 Jv（z）的积分表示254

7.5 整数阶贝塞耳函数Jn(z)(n=0,1,2,…)260

7.6 第二类贝塞耳函数Yv(z)264

7.7 第三类贝塞耳函数（汉克耳（Hankel）函数）Hv(1)(z),Hv(2)(z)267

7.8 变型（或虚宗量）贝塞耳函数Iv（z）和Kv（z）．汤姆孙（Thomson）函数berv(z),beiv（z）等271

7.9 球贝塞耳函数jl(z),nl(z),hl(1)(z),hl(2)(z)273

7.10 渐近展开，｜z｜→∞的情形274

7.11 最陡下降法276

7.12 v阶贝塞耳函数在｜v｜和｜z｜都很大时的渐近展开278

7.13 加法公式286

7.14 含贝塞耳函数的积分．（一）有限积分289

7.15 含贝塞耳函数的积分．（二）无穷积分291

7.16 诺埃曼（Neumann）展开299

7.17 卡普坦（Kapteyn）展开301

7.18 贝塞耳函数的零点305

7.19 傅里叶（Fourier）-贝塞耳展开308

习题309

第八章 外氏椭圆函数333

8.1 椭圆积分与椭圆函数333

8.2 椭圆积分的周期335

8.3 双周期函数和椭圆函数的一般性质337

8.4 函数？（z）340

8.5 ？（z）和？′（z）之间的代数关系342

8.6 函数ζ（z）344

8.7 函数σ（z）345

8.8 外氏椭圆函数的齐次性347

8.9 普遍椭圆函数表达式347

8.10 加法公式351

8.11 三次曲线的坐标用椭圆函数表达353

8.12 四次多项式问题354

8.13 亏数为一的曲线357

习题360

第九章 忒塔函数363

9.1 函数θ（v）363

9.2 函数？k（v）365

9.3 椭圆函数用忒塔函数表达366

9.4 ？k（v）的平方之间的关系367

9.5 加法公式368

9.6 忒塔函数所满足的微分方程369

9.7 一些常数的值370

9.8 勒让德第一种椭圆积分372

9.9 雅氏虚变换375

9.10 朗登（Landen）型变换377

9.11 忒塔函数用无穷乘积表示377

9.12 忒塔函数的对数微商用傅里叶级数展开380

9.13 函数Θ（u）和H（u）381

习题382

第十章 雅氏椭圆函数387

10.1 雅氏椭圆函数snu,cnu,dnu387

10.2 雅氏椭圆函数的几何表示法388

10.3 全椭圆积分390

10.4 加法公式392

10.5 雅氏椭圆函数的周期性393

10.6 雅氏椭圆函数的极点和零点394

10.7 椭圆函数的变换395

10.8 椭圆积分的演算398

10.9 第二种椭圆积分403

10.10 第三种椭圆积分404

10.11 函数E（u）的性质406

10.12 K和E对k的微分方程和对k的展开式408

10.13 雅氏椭圆函数与忒塔函数的关系410

10.14 雅氏椭圆函数用无穷乘积和傅里叶级数表达414

习题416

第十一章 拉梅函数421

11.1 椭球坐标421

11.2 坐标用椭圆函数表达423

11.3 拉梅（Lamé）方程425

11.4 四类拉梅函数427

11.5 椭球谐函数432

11.6 尼文（Niven）的表达式433

11.7 关于拉梅多项式的零点436

11.8 第二种拉梅函数437

11.9 广义拉梅函数439

11.10 拉梅函数的积分方程442

11.11 椭球谐函数的积分表达式443

习题445

第十二章 马丢函数448

12.1 马丢（Mathieu）方程448

12.2 解的一般性质.基本解449

12.3 夫洛开（Floquet）解450

12.4 马丢方程的周期解451

12.5 夫洛开解的傅里叶展开453

12.6 本征值λ（q）的计算公式455

12.7 马丢函数cem（z）（m=0,1,2,…）和sem（z）（m=1,2,3,…）457

12.8 λv（q）依q的幂级数展开460

12.9 当q小的时候马丢函数cem(z),sem（z）的傅里叶展开462

12.10 无穷行列式464

12.11 希耳（Hill）方程465

12.12 马丢方程的稳定解与非稳定解．稳定区与非稳定区468

12.13 λ？q＞0时马丢方程的近似解470

12.14 马丢函数的积分方程472

习题474

附录480

附录一 三次方程的根480

附录二 四次方程的根481

附录三 正交曲面坐标系483

参考书目496

符号497

索引501

外国人名对照索引505

出版后记509