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第1篇 微积分3

第1章 函数的极限与连续函数3

1.1 实数与数轴3

1.2 函数的概念4

1.3 函数的极限9

1.4 求极限的方法16

1.4.1 直接代入法16

1.4.2 两个重要极限17

1.4.3 无穷小量、无穷大量、局部有界量之间的运算规则19

1.4.4 四则运算法则22

1.4.5 变量替换法24

1.4.6 等价量、高阶无穷小量、低阶无穷大量28

1.5 闭区间上连续函数的性质32

习题134

第2章 一元函数微分学38

2.1 微分与导数的概念38

2.2 微分法43

2.3 高阶导数与高阶微分48

2.4 微分中值定理50

2.5 洛必达法则52

2.6 函数的泰勒展开53

2.7 利用导数研究函数59

2.7.1 函数的单调性59

2.7.2 函数的凸性62

2.7.3 函数的极值与最值65

2.7.4 Newton迭代法69

2.7.5 渐近线70

2.7.6 函数作图70

习题271

第3章 多元函数微分学75

3.1 多元函数的极限与连续75

3.2 偏导数与全微分76

3.3 微分法79

3.4 隐函数微分法82

3.5 高阶偏导数与高阶全微分85

3.6 多元函数的泰勒展开86

3.7 多元函数的极值87

习题395

第4章 不定积分97

4.1 不定积分的概念和性质97

4.1.1 引言97

4.1.2 原函数与不定积分的概念98

4.1.3 不定积分的性质及基本积分公式99

4.2 基本积分法102

4.2.1 换元积分法102

4.2.2 第二类换元法106

4.2.3 分部积分法109

4.3 有理函数积分简介113

习题4116

第5章 定积分119

5.1 定积分的概念与性质119

5.1.1 定积分的定义119

5.1.2 定积分的性质122

5.2 微积分学基本定理124

5.2.1 积分上限函数及其导数124

5.2.2 微积分学基本定理126

5.2.3 定积分的换元积分法127

5.2.4 定积分的分部积分法129

5.3 定积分的应用131

5.3.1 微元法131

5.3.2 定积分在几何学中的应用132

5.3.3 连续函数的平均值136

5.3.4 定积分在物理上的应用137

5.3.5 定积分在医学上的应用140

5.3.6 定积分在经济上的应用141

5.4 广义积分141

5.4.1 无穷区间上的广义积分141

5.4.2 有限区间上无界函数的广义积分（瑕积分）143

5.5 二重积分145

5.5.1 二重积分的概念145

5.5.2 二重积分的性质147

5.5.3 二重积分的计算148

习题5154

第6章 简单微分方程158

6.1 微分方程的基本概念158

6.1.1 引例158

6.1.2 基本概念159

6.1.3 微分方程解的几何意义160

6.2 一阶微分方程161

6.2.1 变量分离方程161

6.2.2 一阶线性微分方程165

6.2.3 应用举例169

6.3 可降阶的二阶微分方程178

6.4 二阶线性微分方程182

6.4.1 二阶线性微分方程解的性质182

6.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程184

6.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程187

习题6190

第2篇 矩阵代数195

第7章 矩阵代数195

7.1 矩阵的概念及运算195

7.2 矩阵的分块运算197

7.3 初等变换与初等阵199

7.4 矩阵求逆、秩标准形的唯一性202

7.5 向量组的线性相关、线性无关与矩阵的秩206

7.6 线性方程组的解211

7.7 行列式214

7.8 特征值与特征向量220

7.9 实对称阵的正交对角化224

7.10 正定阵228

习题7229

第3篇 概率论241

第8章 随机事件与概率241

8.1 随机现象241

8.2 随机事件及其运算242

8.3 随机事件的概率243

8.4 为事件赋予概率的方法245

8.4.1 主观方法245

8.4.2 用频率估计概率246

8.4.3 利用等可能性假设（1）：古典概率模型246

8.4.4 利用等可能性假设（2）：几何概率252

8.5 条件概率253

8.6 事件的独立性256

8.7 贝叶斯公式257

8.8 “条件概率是概率”259

习题8266

第9章 随机变量269

9.1 随机变量的概念269

9.2 随机变量的概率密度函数与分布函数269

9.3 正态分布及其应用273

9.4 二项分布及其应用276

9.5 与泊松过程有关的分布279

9.6 随机向量的概念284

9.7 联合密度函数与联合分布函数285

9.8 边际密度290

9.9 条件密度292

9.10 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式294

9.11 独立性与条件独立性300

习题9301

第10章 随机变量的变换305

10.1 离散情形305

10.2 连续情形308

10.3 多维正态变量及其线性变换316

10.4 次序统计量320

习题10323

第11章 数字特征325

11.1 随机变量的数学期望与方差325

11.2 协方差与相关系数338

11.3 均值向量与方差协方差阵344

11.4 条件期望与条件方差346

习题11355

第12章 极限定理357

12.1 随机变量序列收敛的类型357

12.2 大数定律358

12.3 中心极限定理363

习题12367

标准正态分布函数值表368

参考文献369