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第1章 引论1

1.1工程数值计算的对象特点和意义1

1.2误差分析2

1.2.1误差分析的重要性2

1.2.2误差来源及误差分类2

1.2.3绝对误差、相对误差及有效数字3

1.3算法特性及N-S流程图6

1.3.1算法特性6

1.3.2 N-S流程图表示7

1.4选用算法时遵循的原则9

本章小结10

习题11

第2章 线性方程组的直接解12

2.1高斯消去法12

2.1.1顺序高斯消去法12

2.1.2列主元消去法15

2.1.3列主元消去法算法设计16

2.2对称正定矩阵的平方根法18

2.2.1矩阵的三角分解18

2.2.2对称正定矩阵的平方根法21

2.2.3改进的平方根法算法设计24

2.3三对角线性方程组的追赶法25

2.3.1三对角方程组25

2.3.2追赶法27

2.3.3追赶法算法设计28

2.4误差分析29

2.4.1向量和矩阵的范数29

2.4.2病态方程组与条件数31

2.5算例分析33

本章小结37

习题37

第3章 线性方程组的迭代解39

3.1迭代法的基本思想39

3.2雅可比迭代法与高斯—赛德尔迭代法40

3.2.1雅可比迭代法40

3.2.2高斯—赛德尔迭代法42

3.2.3高斯—赛德尔迭代法算法设计44

3.3逐次超松弛迭代法45

3.4迭代法的收敛性46

3.5算例分析49

本章小结52

习题52

第4章 非线性方程的近似解54

4.1引言54

4.2二分法55

4.2.1二分法的基本原理55

4.2.2二分法算法设计56

4.3迭代法57

4.3.1迭代法的基本原理与迭代过程的收敛性57

4.3.2埃特金（Aitken）加速算法60

4.3.3埃特金加速算法设计62

4.4牛顿迭代法63

4.4.1牛顿（Newton）迭代公式及其几何意义63

4.4.2牛顿迭代法的收敛性64

4.4.3牛顿迭代法算法设计66

4.5弦截法67

4.5.1弦截法的基本原理67

4.5.2弦截法的收敛性69

4.5.3弦截法算法设计70

4.6算例分析71

本章小结73

习题74

第5章 插值75

5.1引言75

5.1.1代数插值问题75

5.1.2插值多项式的存在与唯一性76

5.1.3代数插值的几何意义76

5.1.4插值余项77

5.2拉格朗日插值77

5.2.1线性插值、抛物插值及一般插值77

5.2.2插值余项与误差估计79

5.2.3拉格朗日插值算法设计81

5.3牛顿插值82

5.3.1差商及其性质82

5.3.2牛顿插值多项式85

5.3.3插值余项与误差估计86

5.3.4牛顿插值算法设计87

5.4埃尔米特插值88

5.4.1概述88

5.4.2插值余项与误差估计89

5.4.3埃尔米特插值算法设计90

5.5三次样条插值91

5.5.1样条函数与插值三次样条函数91

5.5.2用型值点处的一阶导数表示插值三次样条——m关系式92

5.5.3用型值点处的二阶导数表示插值三次样条——M关系式94

5.5.4三次样条插值算法设计97

5.6算例分析98

本章小结102

习题103

第6章 曲线拟合的最小二乘法105

6.1曲线拟合问题105

6.2最小二乘法原理105

6.3矛盾方程组的求解106

6.4用多项式作最小二乘曲线拟合109

6.5曲线拟合的最小二乘算法设计113

6.6算例分析115

本章小结116

习题116

第7章 积分与微分的数值方法118

7.1梯形公式、辛甫生公式与柯特斯公式118

7.1.1梯形公式118

7.1.2辛甫生公式120

7.1.3柯特斯公式120

7.1.4柯特斯公式算法设计122

7.2龙贝格求积公式122

7.2.1龙贝格公式122

7.2.2龙贝格算法设计126

7.3高斯公式126

7.3.1高斯公式126

7.3.2高斯公式的余项与收敛性130

7.4数值微分132

7.4.1差商型求导公式132

7.4.2插值型求导公式133

7.5算例分析134

本章小结140

习题140

第8章 常微分方程的数值方法142

8.1欧拉公式142

8.1.1欧拉公式及其几何意义142

8.1.2欧拉公式的改进144

8.1.3改进的欧拉公式算法设计147

8.2龙格—库塔方法148

8.2.1二阶龙格—库塔法149

8.2.2四阶经典的龙格—库塔算法及变步长的龙格—库塔算法150

8.2.3四阶经典的龙格—库塔法算法设计152

8.3亚当姆斯方法153

8.3.1亚当姆斯公式153

8.3.2亚当姆斯预报—校正156

8.3.3亚当姆斯预报—校正的误差分析158

8.4一阶微分方程组及高阶微分方程159

8.4.1一阶微分方程组的数值解159

8.4.2高阶微分方程的数值解160

8.5算例分析162

本章小结165

习题165

第9章 数值计算方法的编程实现168

9.1 MATLAB编程基础168

9.1.1 MATLAB简介168

9.1.2命令窗口168

9.1.3矩阵及矩阵运算170

9.2 MATLAB程序设计入门173

9.2.1运算符和操作符173

9.2.2 M文件简介175

9.2.3流程控制语句176

9.3 MATLAB在数值计算方法中的应用179

9.3.1线性方程组的直接解179

9.3.2线性方程组的迭代解182

9.3.3非线性方程的近似解183

9.3.4插值问题187

9.3.5最小二乘法的曲线拟合192

9.3.6数值积分193

9.3.7求解常微分方程的初值问题196

本章小结198

习题198

第10章 工程数值计算方法实验指导200

实验一 线性方程组的直接解——列主元消去法解线性方程组200

实验二 线性方程组的迭代解——雅克比迭代法、高斯—赛德尔迭代法解线性方程组203

实验三 非线性方程的近似解——二分法、牛顿法求非线性方程的根206

实验四 插值问题——拉格朗日插值与牛顿插值209

实验五 曲线拟合问题——最小二乘法212

实验六 数值积分——复化辛甫生公式214

实验七 求解常微分方程的初值问题——改进欧拉方法与四阶龙格—库塔方法216

部分习题参考答案219

参考文献245