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第1章 实数与函数1

1.1 实数1

1.1.1 有理数与无理数1

1.1.2 确界原理4

1.1.3 不等式7

1.2 函数10

1.2.1 函数的定义10

1.2.2 函数的运算13

1.2.3 函数的表示方法17

复习23

第2章 极限理论26

2.1 数列极限27

2.1.1 数列极限的定义27

2.1.2 数列极限的性质与四则运算法则31

2.1.3 数列收敛的判别法则36

2.1.4 自然对数底e42

2.2 函数极限49

2.2.1 函数极限的定义49

2.2.2 函数极限的性质与四则运算55

2.2.3 复合函数的极限58

2.2.4 函数极限的判别法则60

2.2.5 两个重要极限及其应用61

2.3 无穷小量与无穷大量69

2.3.1 无穷小量及其比较69

2.3.2 无穷大量及其比较74

2.4 函数的连续性77

2.4.1 函数连续性的概念78

2.4.2 连续函数的性质与四则运算81

2.4.3 初等函数的连续性83

2.4.4 有界闭区间上连续函数的性质86

2.4.5 一致连续性89

复习95

第3章 单变量函数的微分学101

3.1 函数的导数101

3.1.1 导数的引入101

3.1.2 导数的定义102

3.1.3 可导函数的性质106

3.1.4 函数导数的计算113

3.1.5 高阶导数118

3.1.6 应用122

3.2 函数的微分129

3.2.1 微分的定义129

3.2.2 微分运算的基本公式和法则131

3.2.3 高阶微分133

3.2.4 微分的应用——近似计算与误差估计134

3.3 微分中值定理138

3.3.1 罗尔定理139

3.3.2 拉格朗日中值定理141

3.3.3 柯西中值定理143

3.4 未定式的极限与洛必达法则149

3.4.1 洛必达法则149

3.4.2 其他类型的未定式153

3.5 泰勒公式157

3.5.1 泰勒公式157

3.5.2 几个初等函数的麦克劳林公式160

3.5.3 泰勒公式的应用164

3.6 微分学的应用169

3.6.1 函数的单调性与极值169

3.6.2 函数的凹凸性与渐近线174

3.6.3 函数图像的描绘179

3.6.4 平面曲线的曲率181

复习189

第4章 单变量函数的积分学194

4.1 不定积分的概念与性质194

4.1.1 原函数与不定积分的概念194

4.1.2 不定积分的基本公式与基本运算法则196

4.2 不定积分的计算方法201

4.2.1 不定积分的换元法201

4.2.2 不定积分的分部积分法207

4.2.3 几种特殊类型函数的积分210

4.3 定积分的概念和可积函数类225

4.3.1 定积分的概念226

4.3.2 可积性判别准则与可积函数类230

4.4 定积分的基本性质与微积分基本定理239

4.4.1 定积分的基本性质239

4.4.2 微积分基本定理248

4.5 定积分的计算方法258

4.5.1 定积分的换元法258

4.5.2 定积分的分部积分法262

4.6 定积分的应用267

4.6.1 定积分在几何中的应用举例268

4.6.2 定积分在物理中的应用举例279

4.7 广义积分285

4.7.1 无穷区间上的积分285

4.7.2 无界函数的积分291

复习296

第5章 微分方程299

5.1 微分方程的基本概念300

5.2 一阶微分方程304

5.2.1 变量分离方程305

5.2.2 齐次方程307

5.2.3 可化为齐次方程的方程310

5.2.4 一阶线性方程313

5.2.5 伯努利方程318

5.3 可降阶的二阶微分方程320

5.3.1 不显含未知函数的二阶微分方程320

5.3.2 不显含自变量的二阶微分方程321

5.4 二阶线性微分方程解的结构324

5.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构324

5.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构330

5.5 二阶常系数线性微分方程333

5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程333

5.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程336

5.5.3 欧拉方程340

5.6 微分方程的应用342

5.6.1 贷款模型343

5.6.2 人口增长模型346

5.6.3 质点振动模型349

复习357

附录 实数的构造360

参考答案370

索引405