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第1章 绪论1

1.1 计算机科学计算研究的对象和特点1

1.2 向量与矩阵的范数3

1.2.1 向量范数3

1.2.2 范数的等价性4

1.2.3 矩阵范数5

1.2.4 相容矩阵范数的性质8

1.3.2 误差的基本概念和有效数字9

1.3.1 误差的来源与分类9

1.3 误差分析与数值方法的稳定性9

1.3.3 函数计算的误差估计11

1.3.4 计算机浮点数表示和舍入误差12

1.3.5 数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则13

习题116

第2章 矩阵变换和计算18

2.1 矩阵的三角分解及其应用18

2.1.1 Gauss消去法与矩阵的LU分解18

2.1.2 Gauss列主元消去法与带列主元的LU分解22

2.1.3 对称矩阵的Cholesky分解27

2.1.4 三对角矩阵的三角分解28

2.1.5 条件数与方程组的性态30

2.1.6 矩阵的QR分解33

2.2 特殊矩阵的特征系统36

2.3 矩阵的Jordan分解介绍38

2.4 矩阵的奇异值分解45

2.4.1 矩阵奇异值分解的几何意义45

2.4.2 矩阵的奇异值分解46

2.4.3 用矩阵的奇异值分解讨论矩阵的性质48

习题249

第3章 逐次逼近法52

3.1 解线性方程组的迭代法52

3.1.1 简单迭代法53

3.1.2 迭代法的收敛性58

3.2 非线性方程的迭代解法63

3.2.1 简单迭代法63

3.2.2 Newton迭代法及其变形68

3.2.3 多根区间上的逐次逼近法73

3.3.1 幂法76

3.3 计算矩阵特征问题的幂法76

3.3.2 反幂法81

3.4 迭代法的加速83

3.4.1 基本迭代法的加速84

3.4.2 Ai tken加速86

3.5 共轭梯度法90

3.5.1 最速下降法91

3.5.2 共轭梯度法（简称CG法）92

习题396

4.1.1 插值问题102

4.1 引言102

第4章 插值与逼近102

4.1.2 插值函数的存在唯一性、插值基函数103

4.2 多项式插值和Hermite插值104

4.2.1 Lagrange插值公式104

4.2.2 Newton插值公式105

4.2.3 插值余项107

4.2.4 Hermite插值108

4.2.5 分段低次插值111

4.3.1 样条函数113

4.3 三次样条插值113

4.3.2 三次样条插值及其收敛性114

4.4 B—样条函数119

4.4.1 B—样条函数及其基本性质119

4.4.2 B—样条函数插值122

4.5 正交函数族在逼近中的应用125

4.5.1 正交多项式简介125

4.5.2 函数的最佳平方逼近128

4.5.3 数据拟合的最小二乘法129

习题4132

第5章 插值函数的应用134

5.1 基于插值公式的数值微积分134

5.1.1 数值求积公式及其代数精度134

5.1.2 复化求积公式137

5.1.3 数值微分公式139

5.2 Gauss型求积公式141

5.2.1 基于Hermite插值的Gauss型求积公式142

5.2.2 常见的Gauss型求积公式与Gauss型求积公式的数值稳定性144

5.3.1 逐次分半算法145

5.3 外推加速原理与Romberg算法145

5.3.2 外推加速公式与Romberg算法147

5.4 常微分方程数值解法150

5.4.1 基于数值积分的解法150

5.4.2 Runge-Kutta显化求解公式153

习题5154

6.2.1 无界函数的数值积分156

6.2 反常积分的数值方法156

6.1 引言156

第6章 数值积分156

6.2.2 无穷区间上函数的数值积分159

6.3 振荡函数的数值积分法161

6.4 二重积分的机械求积法164

6.5 重积分Monte-Carlo求积法170

习题6172

第7章 常微分方程的数值解法173

7.1 引言173

7.2.1 基于Taylor展开式的求解公式174

7.2 基于Taylor展开式的求解公式174

7.2.2 四阶显式Runge-Kutta法178

7.3 刚性问题及其求解公式188

7.3.1 刚性问题189

7.3.2 隐式Runge-Kutta法192

7.3.3 线性多步法195

7.4 边值问题的数值解法197

7.4.1 打靶法197

7.4.2 差分法201

7.5.1 关于暂态计算的方法204

7.5 暂态历程的精细计算方法204

7.5.2 齐次方程的精细积分205

7.5.3 非齐次方程的精细积分207

7.5.4 数值例题207

7.5.5 精度分析209

习题7210

第8章 小波变换213

8.1 从Fourier变换到小波变换213

8.1.1 Fourier变换213

8.1.2 窗口Fourier变换215

8.1.3 小波变换216

8.2 多分辨率分析与正交小波基的构造218

8.3 Mallat算法221

习题8223

第9章 矩阵特征对的数值解法224

9.1 求特征方程根的方法224

9.1.1 A为Jacobi矩阵224

9.1.2 A为对称矩阵228

9.2 分二治之法231

9.2.1 矩阵的分块232

9.2.2 分二治之计算235

9.3 QR法238

9.3.1 QR迭代的基本方法238

9.3.2 Hessenberg矩阵的QR法239

9.3.3 带有原点位移的QR法242

9.3.4 对称QR法245

9.4 Lanczos算法246

9.4.1 Lanczos迭代247

9.4.2 Lanczos迭代的收敛性讨论249

习题9253

1．矩阵序列256

附录1 矩阵分析介绍256

一、矩阵序列与矩阵级数256

2．矩阵级数258

二、矩阵幂级数261

三、矩阵的微积分267

1．相对于数量变量的微分和积分267

2．相对于矩阵变量的微分268

3．矩阵微积分在微分方程中的应用269

习题272

1．关于数值问题的性态274

附录2 有关计算理论简介274

一、关于误差分析274

2．关于算法的稳定性279

二、关于计算复杂性280

1．简述“问题复杂度”280

2．算法的有效性282

附录3 数值实验285

符号说明294

参考文献296