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第1章 复数与复变函数1

1.1 复数的概念与运算1

1.1.1 复数的概念1

1.1.2 复数的代数运算及运算性质1

1.1.3 复数的几何表示2

1.1.4 复球面5

1.1.5 复数的乘幂与方根5

习题1.17

1.2 复变函数7

1.2.1 预备知识8

1.2.2 复变函数10

习题1.210

1.3 复变函数的极限与连续性11

1.3.1 复变函数的极限11

1.3.2 复变函数的连续性12

习题1.313

实验一 复数的表示与基本运算13

第2章 解析函数19

2.1 解析函数的概念及判定19

2.1.1 复变函数的导数与微分19

2.1.2 解析函数的概念21

2.1.3 函数解析的充要条件22

习题2.125

2.2 初等函数25

2.2.1 指数函数25

2.2.2 对数函数26

2.2.3 幂函数27

2.2.4 三角函数28

2.2.5 反三角函数29

习题2.229

2.3 调和函数30

2.3.1 调和函数的概念30

2.3.2 解析函数的表达式30

习题2.331

实验二 复变函数的极限与导数32

第3章 复变函数的积分35

3.1 复变函数积分的概念35

3.1.1 复变函数积分的定义35

3.1.2 积分的存在定理及其计算公式36

习题3.138

3.2 解析函数积分基本定理38

3.2.1 柯西—古萨(Cauchy-Goursat)积分定理38

3.2.2 不定积分40

习题3.242

3.3 复合闭路定理42

习题3.344

3.4 柯西积分公式与高阶导数公式45

3.4.1 柯西积分公式45

3.4.2 解析函数的高阶导数47

习题3.448

实验三 复变函数的积分49

第4章 级数52

4.1 复数项级数52

4.1.1 复数列的极限52

4.1.2 复数项级数的收敛53

习题4.155

4.2 幂级数56

4.2.1 复变函数项级数的概念56

4.2.2 幂级数56

4.2.3 收敛圆与收敛半径58

4.2.4 幂级数的运算和性质59

习题4.260

4.3 泰勒级数与洛朗级数61

4.3.1 泰勒级数及展开方法61

4.3.2 洛朗级数及展开方法63

习题4.368

实验四 函数的泰勒级数展开69

第5章 留数71

5.1 孤立奇点71

5.1.1 孤立奇点的分类71

5.1.2 函数的零点与极点的关系74

5.1.3 函数在无穷远点的性态75

习题5.176

5.2 留数及其应用77

5.2.1 留数的概念77

5.2.2 留数的计算78

5.2.3 留数定理及其应用80

5.2.4 在无穷远点的留数81

习题5.282

5.3 留数在定积分计算上的应用82

5.3.1 形如∫2π 0 R(cosθ,sinθ)dθ的积分83

5.3.2 形如∫+∞ -∞ R(x)dx的积分83

5.3.3 形如∫+∞ -∞ R(x)eaix dx(a〉0)的积分85

习题5.385

实验五 留数的基本运算与闭曲线上的积分86

第6章 共形映射91

6.1 共形映射的概念91

6.1.1 有向曲线的切向量91

6.1.2 解析函数导数的几何意义92

6.1.3 共形映射的定义94

习题6.195

6.2 分式线性映射95

6.2.1 分式线性映射的一般形式96

6.2.2 分式线性映射的分解96

6.2.3 分式线性映射的性质98

6.2.4 唯一决定分式线性映射的条件98

6.2.5 两个典型区域间的映射99

习题6.2101

6.3 几个初等函数所构成的映射102

6.3.1 幂函数与根式函数102

6.3.2 指数函数与对数函数104

习题6.3106

第7章 傅里叶变换108

7.1 傅里叶积分108

7.1.1 周期函数的傅里叶级数108

7.1.2 非周期函数的傅里叶积分公式109

7.1.3 傅里叶积分公式的变形形式110

习题7.1113

7.2 傅里叶变换的概念113

7.2.1 傅里叶变换的定义113

7.2.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换115

习题7.2119

7.3 傅里叶变换的性质119

7.3.1 线性性质120

7.3.2 对称性质120

7.3.3 相似性质121

7.3.4 位移性质121

7.3.5 微分性质123

7.3.6 积分性质123

7.3.7 卷积与卷积定理124

7.3.8 乘积定理125

7.3.9 自相关定理126

习题7.3126

实验六 傅里叶变换127

第8章 拉普拉斯变换131

8.1 拉普拉斯变换的概念131

8.1.1 问题的提出131

8.1.2 拉普拉斯变换的定义132

8.1.3 拉普拉斯变换的存在定理133

习题8.1135

8.2 拉普拉斯变换的性质135

8.2.1 线性性质135

8.2.2 相似性质136

8.2.3 位移性质136

8.2.4 延迟性质137

8.2.5 微分性质137

8.2.6 积分性质138

8.2.7 卷积与卷积定理140

8.2.8 初值定理与终值定理142

习题8.2142

8.3 拉普拉斯逆变换143

8.3.1 复反演积分公式144

8.3.2 象原函数的求法144

习题8.3147

实验七 拉普拉斯变换148

附录A 傅里叶变换简表152

附录B 拉普拉斯变换简表157

附录C Matlab简介162

习题答案176

参考文献186