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第一章 函数 极限 连续1

第一节 函数1

一、变量及其变化区间1

二、函数概念2

三、函数的简单性质7

四、反函数及其图形9

五、复合函数11

六、基本初等函数 初等函数11

七、双曲函数15

第二节 极限17

一、极限概念导引18

二、数列的极限19

三、函数的极限25

第三节 无穷小量与无穷大量31

一、无穷小量31

二、无穷大量32

三、无穷小量与无穷大量的关系33

四、无穷小量运算定理33

第四节 极限的运算法则34

第五节 两个重要极限38

一、夹逼定理（极限存在的准则）39

二、重要极限lim x→0 sinx/x=140

三、重要极限lim x→∞（1＋1/x）x=e42

第六节 无穷小的比较44

一、无穷小的比较44

二、等价无穷小的性质46

第七节 函数的连续性与间断点47

一、函数连续性的概念48

二、函数的间断点50

第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性52

一、连续函数的四则运算52

二、复合函数的连续性52

三、反函数的连续性52

四、初等函数的连续性52

第九节 闭区间上连续函数的性质53

一、最大值定理和最小值定理53

二、有界性定理54

三、介值定理（中间值定理）54

习题一55

本章学习要点67

第一单元（函数 极限 连续）检测题70

第二章 导数与微分73

第一节 导数概念73

一、变化率问题举例73

二、导数的定义75

三、导数的几何意义77

四、函数的可导性与连续性的关系78

第二节 基本初等函数导数公式 导数的四则运算法则80

一、基本初等函数的导数公式81

二、导数的四则运算法则82

第三节 反函数求导法则 复合函数求导法则85

一、反函数求导法则85

二、反三角函数的导数86

三、复合函数求导法则87

第四节 导数的基本公式和运算法则总结双曲函数和反双曲函数的导数90

一、导数的基本公式90

二、导数的运算法则91

三、双曲函数的导数91

四、反双曲函数的导数92

第五节 高阶导数92

第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定 函数的导数 相关变化率95

一、隐函数及其导数95

二、幂指函数 取对数求导法97

三、由参数方程所确定函数的导数98

四、极坐标系中曲线的切线与矢径的交角公式100

五、相关变化率问题101

第七节 函数的微分法及其应用102

一、微分的概念103

二、微分的几何意义104

三、微分的运算104

四、微分在近似计算中的应用106

五、微分在误差估计中的应用108

习题二109

本章学习要点118

第三章 中值定理与导数的应用121

第一节 中值定理121

一、罗尔（Rolle）定理121

二、拉格朗日（Lagrange）定理123

三、柯西（Cauchy）定理125

第二节 未定式求极限与洛必达法则126

一、“0/0”型未定式127

二、“∞/∞”型未定式129

三、其他类型未定式极限130

第三节 函数的单调性与极值的判别法131

一、函数单调性的判别法131

二、函数的极值及其求法133

第四节 函数的最大值、最小值及其应用问题136

第五节 曲线的凹凸性与拐点138

一、曲线的凹凸性138

二、曲线的拐点140

第六节 函数图形的描绘141

一、曲线的渐近线141

二、函数图形描绘举例142

第七节 平面曲线的曲率145

一、曲率概念145

二、弧长的微分146

三、曲率的计算公式148

四、曲率圆、曲率半径和曲率中心149

第八节 方程的近似解152

一、二分法152

二、切线法153

习题三155

本章学习要点163

第二单元（一元函数微分学）检测题166

第四章 不定积分169

第一节 不定积分的概念与性质169

一、原函数概念169

二、不定积分概念170

三、基本积分表172

四、不定积分的性质173

第二节 换元积分法175

一、第一类换元积分法175

二、第二类换元积分法183

第三节 分部积分法188

第四节 有理函数的积分193

一、化真分式为简单分式之和193

二、四种最简分式的积分195

三、有理函数积分举例197

第五节 三角函数有理式的积分199

一、形如∫R（sinx） cosx dx ，∫R（cosx） sinx dx和∫R（tanx） sec2 x dx的积分199

二、形如∫R（sin2x，cos2x ）dx和∫R（tanx ）dx的积分199

三、形如∫R（sinx ， cosx ）dx的积分200

第六节 简单无理式的积分202

一、形如∫R（x，n？ax＋b）dx的积分202

二、形如∫R（x，n？ax＋b/cx＋d）dx的积分202

三、形如∫R（x，？ax2 ＋bx ＋c ）dx的积分204

习题四205

本章学习要点211

第五章 定积分213

第一节 定积分的概念213

一、实例213

二、定积分的定义216

三、定积分的存在条件216

四、定积分的几何意义217

第二节 定积分的性质218

第三节 微积分的基本公式221

一、变速直线运动中路程函数与速度函数的关系221

二、变上限的定积分及其对上限的导数222

三、牛顿-莱布尼茨公式223

第四节 定积分的换元积分法225

一、第一类换元积分法225

二、第二类换元积分法226

第五节 定积分的分部积分法230

第六节 定积分的近似计算233

一、矩形法233

二、梯形法233

三、抛物线法（辛普森公式）234

习题五236

本章学习要点242

第六章 定积分的应用 广义积分初步244

第一节 平面图形的面积245

一、直角坐标系下平面图形的面积245

二、极坐标系下平面图形的面积249

第二节 体积250

一、平行截面面积为已知的立体的体积250

二、旋转体的体积251

第三节 平面曲线的弧长252

一、弧长的概念252

二、弧长的计算公式253

第四节 定积分的其他应用254

一、变力做功问题255

二、水压力问题256

三、引力257

四、物体的转动惯量258

五、平均值问题259

第五节 广义积分初步260

一、无穷区间上的广义积分261

二、无界函数的广义积分262

习题六264

本章学习要点268

第三单元（一元函数积分学）检测题271

部分习题答案与提示274

单元检测题答案与提示293

高等数学期末参考试题（第一学期）296

参考文献302

附录A积分表303

附录B几种常用的曲线313

附录C极坐标316

附录D三角函数及反三角函数常用公式318