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多元函数微积分篇1

第五章 多元函数的极限与连续3

1 预备知识3

1.1 平面点集3

1.2 二元函数的概念5

1.3 n维欧氏空间6

2 二元函数的极限和连续8

2.1 二元函数极限的概念8

习题5.18

2.2 二元函数连续的概念11

习题5.213

第六章 多元函数的微分15

1 偏导数与全微分15

1.1 偏导数的概念15

1.2 中值定理16

1.3 全微分的概念19

1.4 可微与偏导数存在和偏导数连续的关系21

习题6.124

2.1 复合函数的偏导数26

2 复合函数的偏导数与方向导数26

2.2 一阶微分形式不变性30

2.3 方向导数31

2.4 梯度33

习题6.234

3 高阶偏导数与泰勒公式35

3.1 高阶偏导数35

3.2 泰勒公式37

习题6.340

1.1 由一个方程确定的隐函数42

第七章 隐函数存在定理及其应用42

1 隐函数存在定理42

1.2 由方程组确定的隐函数49

1.3 反函数组54

习题7.157

2 多元微分学的应用60

2.1 几何应用60

2.2 多元函数的极值66

习题7.279

1.1 二重积分的概念81

第八章 重积分81

1 二重积分81

1.2 二重积分的可积条件84

1.3 可积函数类85

1.4 二重积分的性质86

习题8.188

2 二重积分的计算89

2.1 化重积分为累次积分89

2.2二重积分的变量替换99

习题8.2106

3 三重积分109

3.1 三重积分109

3.2 三重积分的计算111

习题8.3120

第九章 曲线积分和曲面积分123

1 第一型曲线积分123

1.1 第一型曲线积分的概念123

1.2 第一型曲线积分的性质与计算125

2.1 第二型曲线积分的概念129

2 第二型曲线积分129

习题9.1129

2.2 第二型曲线积分的计算132

2.3 两类曲线积分的关系138

习题9.2139

3 格林公式及曲线积分与路线无关的条件140

3.1 格林公式141

3.2 曲线积分与路线无关的条件150

习题9.3156

4.1 第一型曲面积分的概念158

4 第一型曲面积分158

4.2 第一型曲面积分的计算159

习题9.4161

5 第二型曲面积分162

5.1 第二型曲面积分的概念162

5.2 第二型曲面积分的计算166

习题9.5171

6 奥-高公式和斯托克斯公式173

6.1 奥-高公式173

6.2 斯托克斯公式178

6.3 空间曲线积分与路线无关的条件183

习题9.6185

7 曲线积分与曲面积分的物理意义188

7.1 场的基本概念188

7.2 奥-高公式、斯托斯克斯公式（格林公式）的物理意义189

第十章 含参变量积分193

1 含参变量正常积分193

1.1 含参变量正常积分的性质193

1.2 例题195

习题10.1198

2 含参量广义积分的一致收敛性200

2.1 二元函数的一致收敛200

2.2 含参量广义积分的一致收敛及其判别202

习题10.2208

3 含参量广义积分的性质209

3.1 含参量广义积分的性质210

3.2 例题213

3.3 欧拉(Euler)积分216

习题10.3219

无穷级数及极限理论篇221

1 级数的收敛性及其性质223

1.1 基本概念223

第十一章 数项级数223

1.2 柯西收敛准则225

1.3 收敛级数的性质227

习题11.1228

2 正项级数229

习题11.2241

3.1 交错级数243

3 任意项级数243

3.2 绝对收敛和条件收敛级数245

3.3 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法245

习题11.3251

4 级数的重排与乘积252

4.1 级数的重排252

4.2 级数的乘积256

习题11.4259

1 函数列与函数项级数的一致收敛性260

1.1 函数列及其一致收敛的概念260

第十二章 函数项级数260

1.2 函数列一致收敛的判别法263

1.3 函数项级数一致收敛的概念265

1.4 函数项级数一致收敛的充分判别法270

习题12.1273

2 一致收敛的函数列和函数项级数的性质276

2.1 一致收敛函数列的性质276

2.2 一致收敛的函数项级数和函数的性质281

习题12.2285

3.1 幂级数的收敛区域与收敛半径286

3 幂级数286

3.2 幂级数的性质290

3.3 函数的幂级数展开296

3.4 幂级数的应用304

习题12.3305

第十三章 傅里叶级数308

1 傅里叶级数308

1.1 三角函数系的正交性308

1.2 傅里叶级数309

1.3 收敛定理311

习题13.1325

2 收敛定理的证明327

习题13.2335

3 傅里叶级数的性质335

习题13.3341

4 连续函数的多项式逼近342

习题13.4345

第十四章 极限理论347

1 实数概述347

1.1 戴德金实数定义348

1.2 戴德金实数连续性定理352

2 实数连续性定理的等价性354

3 实数完备性定理应用举例360

习题14.1367

4 上极限与下极限367

4.1 上、下极限的概念367

4.2 上、下极限的性质369

4.3 上、下极限的应用371

习题14.2372

附录:微分形式及微分形式的外微分与积分374