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第1章 函数1

1.1预备知识1

1.1.1常见的实数集与记号1

1.1.2实数的绝对值2

1.1.3邻域2

1.1.4充分必要条件3

1.1.5常用三角公式4

1.1.6极坐标4

1.2函数7

1.3具有某种特性的函数12

1.3.1奇（偶）函数12

1.3.2有界函数13

1.3.3单调函数13

1.3.4周期函数14

1.4反函数14

1.5复合函数初等函数15

1.5.1基本初等函数15

1.5.2复合函数20

习题21

第2章 极限与连续23

2.1数列极限23

2.1.1数列的概念23

2.1.2有界数列的定义24

2.1.3数列有界的几何意义24

2.1.4数列单调的定义24

2.1.5数列极限的直观描述24

2.1.6数列极限的精确刻画26

2.1.7数列极限的几何意义28

2.1.8数列极限的性质28

习题2.129

2.2函数极限29

2.2.1自变量x趋于无穷大时函数极限的直观描述31

2.2.2自变量x趋于有限数时函数极限的直观描述31

2.2.3单侧极限32

2.2.4自变量x趋于无穷大时极限的精确刻画（ε-X语言）33

2.2.5 lim f（x）＝A的几何意义34

2.2.6自变量趋于有限数时函数极限的精确刻画（ε-8语言）34

2.2.7 lim x→x0 f（x）＝A的几何意义35

习题2.236

2.3有极限的函数的性质和函数极限的运算法则37

2.3.1函数极限的性质37

2.3.2极限的运算法则37

2.3.3复合函数的极限运算法则41

习题2.341

2.4极限的存在准则和两个重要极限42

2.4.1极限的存在准则42

2.4.2重要极限之一45

2.4.3重要极限之二47

习题2.451

2.5无穷小与无穷大52

2.5.1无穷大的概念52

2.5.2无穷小的概念53

2.5.3收敛变量与其极限的关系53

2.5.4无穷小与无穷大的关系54

2.5.5无穷小的性质54

2.5.6无穷小阶的比较56

习题2.559

2.6函数的连续性60

2.6.1函数在一点处的连续性60

2.6.2单侧连续61

2.6.3区间连续61

2.6.4函数的间断点及其类型62

2.6.5初等函数的连续性64

习题2.666

2.7闭区间上连续函数的性质67

习题2.769

数学实验一69

第3章 导数与微分74

3.1导数概念74

3.1.1导数概念的引入74

3.1.2导数的定义75

3.1.3单侧导数78

3.1.4导数的几何意义81

3.1.5函数可导与连续的关系82

习题3.184

3.2求导法则85

3.2.1四则运算法则85

3.2.2反函数的求导法则87

3.2.3复合函数的求导法则89

3.2.4隐函数求导法92

3.2.5由参数方程表示函数的导数95

习题3.296

3.3高阶导数98

3.3.1高阶导数的概念98

3.3.2高阶导数的运算法则101

习题3.3104

3.4函数的微分105

3.4.1微分的定义106

3.4.2微分的几何意义107

3.4.3基本初等函数的微分公式108

3.4.4函数和、差、积、商的微分法则108

3.4.5微分形式的不变性109

3.4.6微分在近似计算中的应用110

习题3.4111

数学实验二112

第4章 中值定理与导数的应用115

4.1中值定理115

4.1.1罗尔定理115

4.1.2拉格朗日中值定理117

4.1.3柯西定理119

习题4.1120

4.2洛必达法则121

4.2.1洛必达法则Ⅰ（0/0型不定式）122

4.2.2洛必达法则Ⅱ（∞/∞型不定式）123

4.2.3其他不定式（0·∞，∞1—∞2，1∞，00，∞0）124

习题4.2127

4.3函数单调性和凹凸性128

4.3.1函数单调性的判定法128

4.3.2确定函数单调区间的步骤129

4.3.3曲线的凹凸性及其判别法130

4.3.4确定函数凹凸区间的步骤132

习题4.3133

4.4函数的极值与最值134

4.4.1函数的极值及其判别条件134

4.4.2求函数f（x）的极值的步骤135

4.4.3闭区间上连续函数最值的求法138

4.4.4最值问题举例138

习题4.4140

4.5不等式的证明141

4.5.1利用单调性证明不等式141

4.5.2利用微分中值定理证明不等式142

4.5.3利用函数的凹凸性证明不等式142

4.5.4利用函数的极值和最值证明不等式143

习题4.5144

4.6函数图形的描绘144

4.6.1曲线的渐近线145

4.6.2函数作图的步骤146

习题4.6147

数学实验三147

第5章 不定积分150

5.1不定积分的概念与性质150

5.1.1原函数与不定积分的概念150

5.1.2不定积分的性质153

5.1.3不定积分的几何意义153

5.1.4不定积分基本公式154

习题5.1158

5.2换元积分法159

5.2.1第一换元积分法（凑微分法）159

5.2.2第二换元积分法166

习题5.2170

5.3分部积分法175

5.3.1分部积分法175

5.3.2循环积分与递推公式178

5.3.3分部积分速算法——竖式算法179

习题5.3182

5.4几种特殊函数的积分183

5.4.1有理函数的积分183

5.4.2三角函数有理式的积分188

5.4.3简单无理函数的积分193

习题5.4194

5.5积分表的使用方法195

5.5.1可直接查表的积分195

5.5.2进行变量代换，再查表196

5.5.3用递推公式196

习题5.5197

第6章 定积分及其应用198

6.1定积分的概念与性质198

6.1.1定积分的定义199

6.1.2定积分的几何意义201

6.1.3定积分的性质·积分中值定理202

习题6.1204

6.2定积分的计算205

6.2.1变限函数及其导数205

6.2.2微积分基本公式208

6.2.3定积分的换元积分法211

6.2.4定积分的分部积分法214

习题6.2219

6.3广义积分221

6.3.1广义积分的概念221

6.3.2广义积分的计算223

6.3.3两个重要的广义积分224

习题6.3225

6.4定积分的应用226

6.4.1微元法226

6.4.2平面图形的面积227

6.4.3旋转体的体积231

6.4.4平行截面面积为已知的立体的体积234

6.4.5平面曲线的弧长235

习题6.4237

数学实验四238

第7章 空间解析几何与向量代数242

7.1空间直角坐标系242

7.1.1空间点的直角坐标242

7.1.2两点间的距离公式243

7.1.3柱坐标系244

7.1.4球坐标系246

习题7.1247

7.2向量及其加减法数与向量的乘积248

7.2.1向量的概念248

7.2.2向量及其加减法249

7.2.3数与向量的乘积250

习题7.2251

7.3向量的坐标251

7.3.1向量的坐标251

7.3.2向量的坐标运算252

习题7.3255

7.4数量积 向量积 混合积256

7.4.1向量的数量积256

7.4.2数量积的坐标表示257

7.4.3向量的向量积258

7.4.4向量积的坐标表示259

7.4.5向量的混合积261

7.4.6混合积的坐标表示261

习题7.4263

7.5平面及其方程263

7.5.1平面的方程及其方程的几种类型264

7.5.2两平面的位置关系267

7.5.3点到平面的距离268

习题7.5270

7.6空间直线及其方程271

7.6.1直线方程的几种类型271

7.6.2两直线的夹角274

7.6.3直线与平面的位置关系275

7.6.4点到直线的距离276

7.6.5杂例278

习题7.6279

7.7曲面及其方程280

7.7.1一般曲面280

7.7.2旋转曲面281

7.7.3柱面282

7.7.4二次曲面284

习题7.7291

7.8空间曲线及其方程292

7.8.1空间曲线的一般方程292

7.8.2空间曲线的参数方程293

7.8.3空间曲线在坐标面上的投影294

习题7.8295

数学实验五296

习题参考答案300

参考文献328