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第一篇 微积分1

第一章 函数 极限 连续1

考点与要求1

1 函数1

内容精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式4

例题分析5

一、求复合函数的定义域5

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数5

三、求分段函数的复合函数的表达式6

四、求反函数的表达式7

五、关于函数有界（无界）的讨论8

2 极限9

内容精讲9

一、定义9

二、重要性质、定理、公式10

三、计算极限的一些有关方法11

例题分析13

一、求函数的极限14

二、已知某极限，求其中的某些参数，或已知两个无穷小为同阶、等价或高阶，求某些参数20

三、已知某些极限求另一些极限25

四、无穷小的比较26

五、求以极限表示的函数的表达式27

六、极限运算定理的正确运用28

3 函数的连续与间断31

内容精讲31

一、定义31

二、重要性质、定理、公式32

例题分析32

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断，并说明间断点的类型32

二、讨论分段函数的连续性，或由连续性确定其中某些参数33

三、讨论由极限定义的函数的连续性33

四、运算定理的正确使用34

五、连续函数的零点问题35

自测题36

第二章 一元函数微分学39

考点与要求39

1 导数与微分，导数的计算39

内容精讲39

一、定义39

二、重要性质、定理、公式40

例题分析43

一、按定义求一点处的导数43

二、已知某些极限，求函数在指定点处的导数，或讨论函数在指定点处的可导性44

三、已知f（x）在某点x=a处可导，求与此有关的极限45

四、已知f（x）在某点x=a处存在二阶导数，求与此有关的极限46

五、可导条件下求某些参数47

六、讨论函数的微分与函数的增量间的大小关系或者无穷小的阶的高低48

七、讨论由极限式定义的函数的可导性49

八、绝对值函数的导数50

九、隐函数求导数，由某方程确定的函数求极限50

十、求导数的计算题52

2 导数的应用53

内容精讲53

一、定义53

二、重要性质、定理、公式与方法54

例题分析56

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论56

二、最大值、最小值问题59

三、渐近线60

3 中值定理、不等式与零点问题61

内容精讲61

一、重要定理61

二、重要方法63

例题分析64

一、不等式的证明64

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题67

三、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x））的零点69

四、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x）,f″（x））的零点70

五、“双中值”问题71

六、零点的个数问题71

七、证明存在某ξ满足某不等式72

八、？f′（x）与f（x0）的关系73

九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系74

十、关于奇函数、偶函数、周期函数的导数的性质75

自测题76

第三章 一元函数积分学79

考点与要求79

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论79

内容精讲79

一、定义79

二、重要性质、定理、公式80

例题分析82

一、分段函数的不定积分与定积分82

二、定积分与原函数的存在性85

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分85

2 不定积分与定积分的计算88

内容精讲88

一、基本积分公式88

二、基本积分方法89

例题分析91

一、简单有理分式的积分91

二、三角函数的有理分式的积分93

三、简单无理式的积分93

四、两种不同类型的函数相乘的积分94

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分97

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分98

七、含参变量带绝对值号的定积分100

3 反常积分及其计算101

内容精讲101

一、定义101

二、重要性质、定理、公式102

例题分析103

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性103

二、关于奇、偶函数的反常积分105

4 一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用107

内容精讲107

一、定义107

二、重要性质、定理、公式与方法108

例题分析110

一、几何应用110

二、经济上的应用112

5 定积分的证明题116

内容精讲116

例题分析116

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等116

二、由积分定义的函数求极限118

三、积分不等式的证明119

四、零点问题122

自测题124

第四章 多元函数微积分学128

考点与要求128

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分128

内容精讲128

一、多元函数128

二、二元函数的极限与连续128

三、二元函数的偏导数与全微分129

例题分析131

一、讨论二重极限131

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性133

三、讨论二元函数的可微性134

2 多元函数的微分法137

内容精讲137

例题分析139

一、求复合函数的偏导数与全微分139

二、求隐函数的偏导数与全微分146

3 极值与最值150

内容精讲150

例题分析151

一、无条件极值问题151

二、条件极值（最值）问题153

三、多元函数的最大（小）值问题154

4 二重积分159

内容精讲159

例题分析162

一、计算二重积分162

二、累次积分交换次序及计算170

三、与二重积分有关的综合题172

四、与二重积分有关的积分不等式问题175

自测题177

第五章 无穷级数181

考点与要求181

1 常数项级数181

内容精讲181

例题分析183

一、正项级数敛散性的判定183

二、交错级数敛散性的判定187

三、任意项级数敛散性判定189

四、有关常数项级数的证明题与综合题193

2 幂级数195

内容精讲195

例题分析197

一、求幂级数的收敛域197

二、将函数展开为幂级数199

三、级数求和202

自测题207

第六章 常微分方程及差分方程210

考点与要求210

1 常微分方程210

内容精讲210

一、微分方程的基本概念210

二、常见的几类一阶方程及解法210

三、高阶线性方程211

例题分析212

一、微分方程求解212

二、微分方程的综合题218

三、微分方程的应用221

2 差分及一阶差分方程224

内容精讲224

例题分析225

自测题225

第二篇 线性代数228

第一章 行列式228

考点与要求228

内容精讲228

例题分析231

一、数字型行列式的计算231

二、抽象型行列式的计算237

三、行列式｜A｜是否为零的判定239

四、关于代数余子式求和240

自测题241

第二章 矩阵243

考点与要求243

内容精讲243

1 矩阵的概念及运算243

一、矩阵的概念243

二、矩阵的运算244

三、矩阵的运算规则244

四、特殊矩阵245

2 可逆矩阵246

一、可逆矩阵的概念246

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件246

三、逆矩阵的运算性质246

四、求逆矩阵的方法246

3 初等变换、初等矩阵247

一、定义247

二、初等矩阵与初等变换的性质248

4 矩阵的秩248

一、矩阵秩的概念248

二、矩阵秩的公式248

5 分块矩阵249

一、分块矩阵的概念249

二、分块矩阵的运算249

例题分析250

一、矩阵的概念及运算250

二、特殊方阵的幂253

三、伴随矩阵的相关问题257

四、可逆矩阵的相关问题260

五、初等变换、初等矩阵263

六、矩阵秩的计算266

七、矩阵方程的求解268

自测题271

第三章 向量273

考点与要求273

内容精讲273

1 向量、向量组的线性相关性273

2 极大线性无关组、秩275

3 内积，正交规范化方法276

例题分析277

一、线性相关性的判别277

二、向量的线性表示279

三、向量组线性无关的证明282

四、秩、极大线性无关组285

五、正交矩阵、施密特正交化方法291

自测题293

第四章 线性方程组295

考点与要求295

内容精讲295

1 克莱姆法则295

2 齐次线性方程组296

3 非齐次线性方程组297

例题分析298

一、线性方程组的基本概念题298

二、线性方程组的求解302

三、基础解系309

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A310

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系312

六、两个方程组的公共解313

七、同解方程组315

八、线性方程组的有关杂题317

自测题320

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵322

考点与要求322

内容精讲322

1 特征值、特征向量322

一、定义322

二、特征值的性质322

三、求特征值、特征向量的方法323

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化323

一、定义323

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件323

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件324

3 实对称矩阵的相似对角化324

一、定义324

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化324

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤324

例题分析325

一、特征值，特征向量的求法325

二、两个矩阵有相同的特征值的证明330

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法330

四、矩阵是否相似于对角阵332

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数334

六、由特征值、特征向量反求A335

七、矩阵相似及相似标准形337

八、相似对角阵的应用342

自测题347

第六章 二次型349

考点与要求349

内容精讲349

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵349

一、二次型概念349

二、二次型的矩阵表示349

2 化二次型为标准形、规范形、合同二次型350

一、定义350

3 正定二次型、正定矩阵351

一、定义351

例题分析352

一、二次型的矩阵表示352

二、化二次型为标准形、规范形353

三、合同矩阵、合同二次型360

四、正定性的判别363

五、正定二次型的证明368

六、综合杂题369

自测题372

第三篇 概率论与数理统计375

第一章 随机事件与概率375

考点与要求375

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算375

内容精讲375

例题分析377

2 概率、条件概率、独立性和五大公式379

内容精讲379

例题分析380

3 古典概型与伯努利概型385

内容精讲385

例题分析386

自测题388

第二章 随机变量及其概率分布390

考点与要求390

1 随机变量及其分布函数390

内容精讲390

例题分析391

2 离散型随机变量和连续型随机变量392

内容精讲392

例题分析393

3 常用分布394

内容精讲394

例题分析397

4 随机变量函数的分布400

内容精讲400

例题分析400

自测题402

第三章 多维随机变量及其分布405

考点与要求405

1 二维随机变量及其分布405

内容精讲405

例题分析407

2 随机变量的独立性412

内容精讲412

例题分析413

3 二维均匀分布和二维正态分布418

内容精讲418

例题分析419

4 两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布421

内容精讲421

例题分析422

自测题427

第四章 随机变量的数字特征430

考点与要求430

1 随机变量的数学期望和方差430

内容精讲430

例题分析432

2 矩、协方差和相关系数439

内容精讲439

例题分析440

3 切比雪夫不等式448

内容精讲448

例题分析448

自测题449

第五章 大数定律和中心极限定理452

考点与要求452

内容精讲452

例题分析453

自测题455

第六章 数理统计的基本概念456

考点与要求456

1 总体、样本、统计量和样本数字特征456

内容精讲456

例题分析458

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布459

内容精讲459

例题分析461

自测题465

第七章 参数估计468

考点与要求468

1 点估计468

内容精讲468

例题分析468

2 估计量求法473

内容精讲473

例题分析474

自测题477