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第Ⅰ篇 导论3

第1章 引言3

1.1经济理论中的数学3

1.2消费者选择模型5

消费者选择的二维模型5

消费者选择的多维模型8

第2章 一元微积分：基础9

2.1 R1上的函数9

有关术语9

多项式10

图像11

增函数与减函数11

定义域13

对区间的定义13

2.2线性函数14

平面中直线的斜率15

直线方程17

一次多项式的线性17

对线性函数斜率的解释18

2.3非线性函数的斜率20

2.4求导23

导数的运算法则25

2.5可微与连续26

不可微函数27

连续函数28

连续可微函数29

2.6高阶导数30

2.7微分近似31

第3章 一元微积分：应用35

3.1用一阶导数作图35

正导数表示增函数35

利用一阶导数作图36

3.2二阶导数与凸性38

3.3有理函数作图41

作图提示42

3.4尾部和水平渐近线43

多项式的尾部43

有理函数的水平渐近线43

3.5极大值与极小值44

边界和内部的局部极大值与极小值45

二阶条件46

总体极大值和极小值48

只有一个临界点的函数48

二阶导数不等于零的函数49

不存在总体极大值点和极小值点的函数49

定义域为有限闭区间的函数49

3.6经济应用51

生产函数51

成本函数51

收入和利润函数54

需求函数与弹性55

第4章 一元微积分：链式法则61

4.1复合函数与链式法则61

复合函数61

复合函数的微分：链式法则62

4.2反函数及其导数65

反函数的定义与举例65

反函数的导数68

xmn的导数69

第5章 指数与对数71

5.1指数函数71

5.2无理数e74

5.3对数76

基数为10的对数77

基数为e的对数78

5.4指数与对数的性质79

5.5指数与对数的导数80

5.6应用84

现值84

年金84

最优持有时间85

对数导数86

第Ⅱ篇 线性代数91

第6章 线性代数导论91

6.1线性方程组91

6.2线性模型举例92

例1：慈善捐款的税收效应92

例2：生产的线性模型93

例3：马可就业模型96

例4： IS-LM模型98

例5：投资与套利99

第7章 线性方程组104

7.1高斯消元法和高斯-约当消元法104

替代法105

变量消元法106

7.2初等行变换110

7.3多解或无解方程组114

7.4秩——基本准则120

资产组合理论的应用124

7.5线性隐函数定理126

第8章 矩阵代数129

8.1矩阵的运算129

加法运算129

减法运算130

数乘运算130

矩阵乘法131

矩阵运算的法则132

矩阵转置133

方程组的矩阵形式134

8.2几种形式特殊的矩阵135

8.3初等矩阵137

8.4方阵的运算139

8.5投入—产出矩阵147

定理8.13的证明151

8.6分块矩阵（选学）152

8.7分解矩阵（选学）155

数学推导157

需要交换行的初等变换157

第9章 行列式概论160

9.1矩阵的行列式161

行列式定义161

行列式的计算162

行列式的主要性质164

9.2行列式的应用165

9.3克莱姆法则的应用：IS-LM模型分析168

第10章 欧几里德空间170

10.1欧几里德空间的点和向量170

数轴170

平面170

多维空间171

10.2向量173

10.3向量代数175

向量的加法和减法175

向量的数乘177

10.4 Rn中的长度和内积179

长度和距离179

内积183

10.5线190

10.6平面193

参数方程193

非参数方程195

超平面197

10.7经济应用199

商品空间的预算集合199

投入空间199

概率单纯200

投资模型200

IS-LM分析201

第11章 线性无关203

11.1线性无关203

定义204

线性无关的检验207

11.2生成集209

11.3 Rn中的基和维数211

维数213

11.4结语214

第Ⅲ篇 多元微分217

第12章 极限和开集217

12.1序列和实数217

定义217

序列的极限218

极限的代数性质220

12.2 Rnm中的序列223

12.3开集226

集合的内核228

12.4闭集229

集合的闭包230

集合的边界230

12.5紧集232

12.6附注233

第13章 多元函数234

13.1欧几里德空间中的函数234

从Rn到R的函数235

从Rk到Rm的函数236

13.2函数的几何作图237

二元函数的图像237

阶层曲线240

水平集合的作图242

经济学中的平面水平集合242

从Rk到R1的函数作图，k＞2243

从R1到Rn函数的图像244

13.3几类特殊的函数246

Rk上的线性函数246

二次型248

二次型的矩阵形式249

多项式251

13.4连续函数252

13.5函数术语254

投射函数和一一对应函数255

反函数255

复合函数256

第14章 多元微分258

14.1偏导数的定义和举例258

14.2偏导数的经济意义260

边际产品260

弹性261

14.3偏导数的几何意义262

14.4全导数264

近似的几何意义265

线性近似267

多元函数267

14.5链式法则269

曲线269

曲线的正切向量270

根据曲线求微分：链式法则272

14.6定向导数和梯度向量274

定向导数274

梯度向量275

14.7从Rn到Rn的显函数278

微分近似278

链式法则280

14.8高阶导数281

连续可微函数282

二阶导数与海塞矩阵282

杨氏定理283

高阶导数284

经济应用284

14.9附注286

第15章 隐函数及其导数287

15.1隐函数287

举例287

R2中的隐函数定理290

隐函数的几个外生变量292

15.2阶层曲线及其切线294

隐函数定理的几何说明294

简略证明295

与梯度向量的关系296

水平集合切线的微分法297

多元函数的水平集合298

15.3隐函数方程组300

线性方程组301

非线性方程组302

15.4应用：比较静态分析308

15.5反函数定理（可选）312

15.6应用：辛普森悖论315

第Ⅳ篇 最优化321

第16章 二次型和定矩阵321

16.1二次型322

16.2二次型的定义322

对称矩阵的定义325

应用：二阶条件与凸性325

应用：圆锥截面325

矩阵的主子式326

对角矩阵的定性328

2×2矩阵的定性329

16.3线性约束与加边矩阵331

定性与最优化331

一个约束条件334

其他方法335

16.4附录336

第17章 无约束最优化339

17.1定义339

17.2一阶条件340

17.3二阶条件341

充分条件341

必要条件343

17.4总体极大值和总体极小值344

凹函数的总体极大值345

17.5经济应用346

利润最大化厂商347

歧视性垄断347

最小二乘分析348

第18章 约束最优化Ⅰ：一阶条件352

18.1举例352

18.2等式约束353

两个变量和一个等式约束353

多个等式约束359

18.3不等式约束362

含有一个不等式的约束363

多个不等式约束367

18.4混合约束条件370

18.5约束条件下的最小化问题372

18.6库恩-塔克条件375

18.7举例及应用377

应用：广告与销售最大化厂商377

应用：艾沃琪-约翰逊效应378

一个有用的例子380

第19章 约束最优化Ⅱ382

19.1乘子的意义382

一个等式的约束382

多个等式的约束384

不等式约束384

乘子的意义385

19.2包络线定理387

无约束条件问题387

约束问题388

19.3二阶条件390

约束条件下的最大化问题391

最小化问题395

不等式约束397

加边海塞条件的另一种方法398

二阶必要条件399

19.4对参数的平滑依赖399

19.5约束限制条件402

19.6一阶条件的证明407

定理18.1和定理18.2的证明：等式约束407

定理18.3和定理18.4的证明：不等式约束409

第20章 齐次函数和位似函数411

20.1齐次函数411

定义与举例411

经济学中的齐次函数413

齐次函数的性质414

齐次性的微分判别式417

欧拉定理在经济学中的应用418

20.2函数的齐次化419

齐次化在经济学中的应用421

20.3基数效用与序数效用421

20.4位似函数424

动机与定义424

位似函数的判定425

第21章 凹函数与准凹函数429

21.1凹函数与凸函数429

凹函数的微分法则432

21.2凹函数的性质438

经济学中的凹函数441

21.3准凹函数与准凸函数443

微分法则446

21.4假凹函数447

21.5凹函数的最优化450

无约束问题451

约束问题451

鞍点法453

21.6附录455

证明定理21.14中的充分条件455

定理21.15的证明456

定理21.17的证明457

定理21.20的证明458

第22章 经济应用461

22.1效用与需求461

效用最大化461

需求函数464

间接效用函数467

支出函数与补偿需求函数468

斯拉茨基方程470

22.2经济应用：利润与成本472

利润最大化厂商472

成本函数475

22.3帕累托最优478

帕累托最优解的必要条件479

帕累托最优解的充分条件480

22.4福利理论基础481

竞争均衡484

福利经济学的基本理论485

第Ⅴ篇 特征值与动态学491

第23章 特征值与特征向量491

23.1定义与举例491

23.2解线性差分方程496

一维方程496

二维方程组：举例497

圆锥曲线498

莱斯利族群模型498

抽象二维方程组500

k维方程组501

另一种方法：矩阵的幂504

均衡解的稳定性506

23.3特征值的性质507

特征值的迹公式508

23.4重复特征值510

2×2不可对角化矩阵510

3×3不可对角化矩阵513

解不可对角化差分方程组514

23.5复数特征值和特征向量517

存在复数特征值矩阵的对角化517

包含复数特征值的线性差分方程519

高维问题521

23.6马可过程523

23.7对称矩阵527

23.8二次型的定性531

23.9附录534

定理23.5的证明534

定理23.9的证明535

第24章 常微分方程：纯量方程537

24.1定义和举例537

24.2显性解541

线性一阶方程541

可分方程543

一般可分方程543

纯积分问题：y=h（t）547

24.3线性二阶方程548

引言548

特征方程的不等实根548

特征方程的相等实根550

特征方程的复数根550

弹簧运动552

非齐次二阶方程553

24.4解的存在性556

存在性和唯一性基本定理556

方向场557

24.5 R1上的相位图与均衡562

作相位图562

直线上均衡的稳定性564

24.6附录：应用566

间接货币计量效用函数566

欧拉定理的逆定理567

第25章 常微分方程：方程组569

25.1平面方程组介绍569

共轭微分方程组569

有关术语570

存在性和唯一性572

25.2线性方程组与特征值572

相异实数特征值572

复数特征值574

多重实数特征值574

25.3替代法求解线性方程组575

25.4稳态与稳定性577

根据特征值判断线性方程组的稳定性578

非线性方程组的稳定性579

25.5平面方程组的相位图581

向量场581

相位图：线性方程组583

相位图：非线性方程组585

25.6初积分591

捕猎者—猎物方程组593

守恒机械运动方程组595

25.7李雅普诺夫函数597

25.8附录：线性化601

第Ⅵ篇 高等线性代数605

第26章 行列式：详述605

26.1行列式的定义605

26.2行列式的性质611

26.3行列式的应用619

伴随矩阵619

26.4经济应用622

供给与需求622

26.5附录625

定理26.1的证明625

定理26.9的证明628

求行列式的其他方法629

第27章 矩阵的子空间631

27.1向量空间与子空间631

作为向量空间的Rn631

Rn的子空间632

27.2子空间的基和维度635

27.3行空间637

27.4列空间639

列向量的维度640

列空间的作用642

27.5零空间643

仿射空间644

线性代数基本定理645

结论648

27.6抽象向量空间649

27.7附录651

定理27.5的证明652

定理27.10的证明652

第28章 线性无关的应用655

28.1方程组的几何性质655

两个方程两个未知数655

两个方程三个未知数656

三个方程三个未知数657

28.2资产组合分析658

28.3投票悖论659

三种可选方案660

四种可选方案663

环的存在后果664

其他投票悖论664

厂商的质量排序665

28.4活动分析：可行性665

活动分析665

简单线性模型与生产矩阵667

28.5活动分析：有效性668

列昂惕夫模型668

第Ⅶ篇 高等分析675

第29章 极限和紧集675

29.1柯西序列675

29.2紧集678

29.3连通集680

29.4欧几里德范数681

Rn上的三种范数681

等价范数683

函数空间的范数685

29.5附录686

有限覆盖性686

海涅-波莱尔定理687

小结689

第30章 多变量微积分Ⅱ691

30.1威尔斯特拉斯定理和中值定理691

紧集上总体最大值的存在性691

罗尔定理和中值定理693

30.2 R1上的泰勒多项式695

单变量函数695

30.3 Rn上的泰勒多项式699

30.4二阶最优化条件703

最优化的二阶充分条件703

不定海塞矩阵705

最优化的二阶必要条件706

30.5约束条件下的最优化707

第Ⅷ篇 附录713

附录A1集合、数与证明713

A1.1集合713

集合的概念713

集合的运算713

A1.2数714

概念714

加法和乘法的性质715

最小上界性715

A1.3证明716

直接证明717

逆命题和逆否命题718

间接证明719

数学归纳法720

附录A2三角函数723

A2.1三角函数的定义723

A2.2三角函数曲线726

A2.3毕达哥拉斯定理728

A2.4三角函数的值729

A2.5多角公式731

A2.6实值函数731

A2.7三角函数的微积分732

A2.8泰勒级数734

A2.9对定理A2.3的证明735

附录A3复数738

A3.1背景738

定义739

复数的运算739

A3.2多项式方程的解740

A3.3复数的几何式741

A3.4复数的指数式743

A3.5差分方程744

附录A4微积分747

A4.1反导数747

分部积分法748

A4.2微积分基本定理749

A4.3应用750

图像下方的面积750

消费者剩余750

流量现值751

附录A5概率导论753

A5.1事件的概率753

A5.2期望和方差754

A5.3连续随机变量755

附录A6部分习题的答案757

索引782