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绪论 实数1

1．有理数域1

1．前言1

目录1

2．有理数域的序2

3．有理数的加法及减法2

4．有理数的乘法及除法4

5．阿基米德公理5

6．无理数的定义6

2．无理数的导入·实数域的序6

7．实数域的序8

8．辅助命题9

9．用无限小数来表示实数10

10．实数域的连续性12

11．数集的界12

3．实数的算术运算15

12．实数的和的定义15

13．加法的性质16

14．实数的积的定义17

15．乘法的性质18

16．结论19

17．绝对值20

4．实数的其他性质及应用21

18．根的存在·以有理数为指数的幂21

19．以任意实数为指数的幂22

20．对数24

21．线段的度量25

22．变量、整序变量28

1．整序变量及其极限28

第一章　极限论28

23．整序变量的极限31

24．无穷小量32

25．例题33

26．关于有极限的整序变量的一些定理37

27．无穷大量38

2．极限的定理·若干容易求得的极限40

28．对等式及不等式取极限40

29．关于无穷小的引理42

30．变量的算术运算43

31．不定式44

32．极限求法的例题46

33．斯托尔茨（O.Stolz）定理50

及其应用50

3．单调整序变量53

34．单调整序变量的极限53

35．例题55

36．数e60

37．数e的近似计算法62

38．关于区间套的引理64

4．收敛原理·部分极限66

39．收敛原理66

40．部分数列及部分极限68

41．布尔查诺-魏尔斯特拉斯（B.Bolzano-C.Weier8trass）引理69

42．上极限及下极限70

第二章　一元函数74

1．函数概念74

43．变量及其变动区域74

44．变量间的函数关系，例题75

45．函数概念的定义76

46．函数的解析表示法78

47．函数的图像80

48．几类最重要的函数81

49．反函数的概念86

50．反三角函数87

51．函数的叠置．总结91

2．函数的极限92

52．函数的极限的定义92

53．变成整序变量的情形94

54．例题95

55．极限理论的拓广103

56．例题105

57．单调函数的极限107

58．布尔查诺-柯西的一般判定法108

59．函数的上极限及下极限110

3．无穷小及无穷大的分阶110

60．无穷小的比较110

61．无穷小的尺度111

62．等价无穷小113

63．主部的分出114

64．应用题115

65．无穷大的分阶117

4．函数的连续性及间断118

66．函数在一点处的连续性的定义118

67．连续函数的算术运算119

68．连续函数的例题120

69．单侧连续·间断的分类122

70．间断函数的例题122

71．单调函数的连续性及间断124

72．初等函数的连续性125

73．连续函数的叠置126

74．一个函数方程的解126

75．指数函数、对数函数及幂函数的函数特性128

76．三角余弦及双曲余弦的函数特性130

77．函数的连续性在计算极限时的应用132

78．幂指数式135

79．例题136

80．关于函数取零值的定理137

5．连续函数的性质137

81．应用于解方程139

82．介值定理140

83．反函数的存在141

84．关于函数的有界性的定理143

85．函数的最大值及最小值143

86．一致连续的概念145

87．康托定理147

88．博雷尔引理148

89．基本定理的新证明149

第三章　导数及微分152

1．导数及其求法152

90．求动点速度的问题152

91．在曲线上作切线的问题153

92．导数的定义155

93．求导数的例题157

94．反函数的导数160

95．导数公式一览表162

96．函数的增量的公式162

97．求导数的几个简单法则164

98．复合函数的导数166

99．例题166

100．单侧导数172

101．无穷导数173

102．特殊情形的例题174

2．微分174

103．微分的定义174

104．可微性与导数存在之间的关系176

105．微分法的基本公式及法则177

106．微分的形式不变性179

107．微分是近似公式的来源180

108．应用微分来估计误差183

3．微分学的基本定理185

109．费马定理185

110．达布（G.Darboux）定理186

111．罗尔定理186

112．拉格朗日公式187

113．导数的极限189

114．柯西公式190

115．高阶导数的定义191

4．高阶导数及高阶微分191

116．任意阶导数的普遍公式193

117．莱布尼茨公式196

118．例题198

119．高阶微分200

120．高阶微分的形式不变性的破坏201

121．参变量微分法202

122．有限差分203

123．多项式的泰勒公式205

5．泰勒公式205

124．任意函数的展开式·余项的佩亚诺式207

125．例题210

126．余项的其他形式214

127．近似公式216

6．插值法221

128．插值法的最简单问题·拉格朗日公式221

129．拉格朗日公式的余项222

130．有重基点的插值法·埃尔米特公式223

131．函数为常数的条件226

1．函数的动态的研究226

第四章　利用导数研究函数226

132．函数为单调的条件228

133．不等式的证明231

134．极大值及极小值·必要条件234

135．充分条件·第一法则235

136．例题236

137．第二法则240

138．高阶导数的应用242

139．最大值及最小值的求法244

140．应用题245

2．凸（与凹）函数249

141．凸（与凹）函数的定义249

142．关于凸函数的简单命题250

143．函数凸性的条件252

144．詹森不等式及其应用254

145．拐点256

146．问题的提出258

147．作图的步骤．例题258

3．函数的作图258

148．无穷间断·无穷区间渐近线261

149．例题263

4．不定式的定值法266

150．？型不定式266

151．？型不定式271

152．其他型的不定式273

5．方程的近似解275

153．导言275

154．比例法则（弦线法）276

155．牛顿法则（切线法）279

156．例题及习题281

157．联合法285

158．例题及习题286

第五章　多元函数290

1．基本概念290

159．变量之间的函数关系·例题290

160．二元函数及其定义域291

161．n维算术空间293

162．n维空间内的区域举例297

163．开域及闭域的一般定义299

164．n元函数301

165．多元函数的极限302

166．变成整序变量的情形304

167．例题306

168．累次极限308

2．连续函数310

169．多元函数的连续性及间断310

171．在域内连续的函数·布尔查诺-柯西定理312

170．连续函数的运算312

172．布尔查诺-魏尔斯特拉斯引理314

173．魏尔斯特拉斯定理316

174．一致连续性316

175．博雷尔引理318

176．基本定理的新证明319

3．多元函数的导数及微分321

177．偏导数及偏微分321

178．函数的全增量324

179．全微分326

180．二元函数的几何说明328

181．复合函数的导数331

182．例题332

183．有限增量公式334

184．沿给定方向的导数336

185．（一阶）微分的形式不变性338

186．应用全微分于近似算法340

187．齐次函数342

188．欧拉公式343

189．高阶导数344

4．高阶导数及高阶微分344

190．关于混合导数的定理346

191．推广到一般情形349

192．复合函数的高阶导数350

193．高阶微分351

194．复合函数的微分354

195．泰勒公式355

5．极值·最大值及最小值357

196．多元函数的极值·必要条件357

197．充分条件（二元函数的情形）359

198．充分条件（一般情形）363

199．极值不存在的条件366

200．函数的最大值及最小值·例题367

201．应用问题371

第六章 函数行列式及其应用380

1．函数行列式的性质380

202．函数行列式（雅可比式）的定义380

203．雅可比式的乘法381

204．函数矩阵（雅可比矩阵）的乘法383

205．一元隐函数的概念385

2．隐函数385

206．隐函数的存在387

207．隐函数的可微性389

208．多元的隐函数391

209．隐函数导数的求法396

210．例题399

3．隐函数理论的一些应用403

211．相对极值403

212．拉格朗日不定乘数法406

213．相对极值的充分条件407

214．例题及应用题408

215．函数的独立性的概念412

216．雅可比矩阵的秩414

4．换元法418

217．一元函数418

218．例题420

219．多元函数·自变量的变换422

220．微分的求法423

221．换元的一般情形425

222．例题427

223．平面曲线（直角坐标系）436

第七章 微分学在几何上的应用436

1．曲线及曲面的解析表示法436

224．例题438

225．机械性产生的曲线441

226．平面曲线（极坐标系）例题444

227．空间的曲面和曲线448

228．参变量表示式449

229．例题451

230．用直角坐标系时平面曲线的切线454

2．切线及切面454

231．例题455

232．用极坐标系时的切线457

233．例题458

234．空间曲线的切线·曲面的切面459

235．例题463

236．平面曲线的奇异点464

237．曲线用参变量表示式的情形468

238．曲线族的包络469

3．曲线的相切469

239．例题472

240．特征点475

241．二曲线相切的阶477

242．曲线之一用隐式表示的情形479

243．密切曲线480

244．密切曲线的另一求法482

4．平面曲线的长482

245．引理482

246．曲线的方向484

247．曲线的长·弧长的可加性485

248．可求长的充分条件·弧的微分486

249．用弧作为参变量·切线的正向489

5．平面曲线的曲率491

250．曲率的概念491

251．曲率圆及曲率半径494

252．例题496

253．曲率中心的坐标499

254．渐屈线及渐伸线的定义；渐屈线的求法501

255．渐屈线及渐伸线的性质503

256．渐伸线的求法506

附录 函数扩充的问题508

257．一元函数的情形508

258．关于二维空间的问题509

259．辅助命题511

260．关于扩充的基本定理514

261．推广到一般情况515

262．总结516

索引519

校订后记525