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第一章 基础知识1

1.1 集合 集合的运算1

1.1.1 集合1

1.1.2 集合的运算4

1.2 数集5

1.2.1 数集5

1.2.2 数的误差7

1.3 向量及其运算9

1.3.1 向量的概念9

1.3.2 向量的运算11

1.3.3 三维直角坐标系15

1.3.4 向量的坐标表示17

1.3.5 向量的坐标运算18

1.4 空间曲线与曲面20

1.4.1 曲面及其方程20

1.4.2 曲面的等高线与等高线图22

1.4.3 常见曲面的一般方程与参数方程23

1.4.4 空间曲线及其方程31

小结35

习题38

第二章 函数及其图像42

2.1 映射与函数42

2.1.1 映射42

2.1.2 函数43

2.2 一元函数的反函数54

2.2.1 反函数的概念54

2.2.2 互为反函数的图形特征54

2.2.3 反函数存在定理55

2.2.4 函数概念的推广56

2.3 初等函数及图像56

2.3.1 常函数56

2.3.2 幂函数56

2.3.3 指数函数与对数函数57

2.3.4 三角函数与反三角函数59

2.4 多元函数64

2.4.1 例64

2.4.2 平面点集和区域65

2.4.3 多元函数概念67

2.4.4 二元函数的定义域68

2.4.5 二元函数的图像69

2.4.6 多元初等函数70

小结70

习题71

第三章 极限与连续75

3.1 极限的概念75

3.1.1 数列的极限75

3.1.2 函数的极限78

3.2 极限的运算法则80

3.3 判断极限存在的两个准则与两个重要极限82

3.3.1 判断极限存在的两个准则82

3.3.2 两个重要极限84

3.4 无穷小量与无穷大量86

3.4.1 无穷小量与无穷大量的概念86

3.4.2 无穷小的性质88

3.4.3 无穷小的比较88

3.5 函数的连续性89

3.5.1 函数的连续与间断89

3.5.2 初等函数的连续性93

3.5.3 闭区间上连续函数的性质及其应用95

3.5.4 多元函数的极限和连续性97

小结99

习题102

第四章 微分学及应用105

4.1 导数的概念105

4.1.1 引例105

4.1.2 导数的定义107

4.1.3 导数的几何意义108

4.1.4 可导与连续的关系110

4.2 求导法则与基本求导公式111

4.2.1 导数的四则运算111

4.2.2 反函数的求导法则112

4.2.3 复合函数的求导法则112

4.2.4 隐函数的求导法则113

4.2.5 由参数方程所确定的函数的求导法则114

4.2.6 对数求导法115

4.2.7 基本求导公式115

4.3 高阶导数116

4.3.1 高阶导数的定义116

4.3.2 高阶导数的求法117

4.4 微分118

4.4.1 微分与可微118

4.4.2 微分的几何意义120

4.4.3 微分的求法121

4.4.4 一阶微分形式的不变性122

4.4.5 微分在近似计算中的应用123

4.5 中值定理124

4.5.1 罗尔定理124

4.5.2 拉格朗日中值定理125

4.5.3 柯西中值定理126

4.6 导数的应用127

4.6.1 洛必塔法则127

4.6.2 函数单调性的判别130

4.6.3 函数的极值131

4.6.4 曲线的凹凸性、拐点、渐近线和函数作图136

4.6.5 弧微分与曲率140

4.7 偏导数及其应用142

4.7.1 偏导数142

4.7.2 全微分145

4.7.3 多元复合函数和多元隐函数的求导法则147

4.7.4 多元函数的极值150

小结154

习题158

第五章 积分学及应用161

5.1 不定积分161

5.1.1 不定积分的概念及基本积分公式161

5.1.2 不定积分的性质163

5.1.3 基本积分法163

5.2 定积分170

5.2.1 累积问题举例170

5.2.2 定积分的概念173

5.2.3 定积分的几何意义175

5.2.4 定积分的性质177

5.2.5 微积分基本定理179

5.2.6 定积分的换元法和分部积分法183

5.3 广义积分185

5.3.1 无穷区间上的积分186

5.3.2 无界函数的积分188

5.4 定积分的应用189

5.4.1 平面图形的面积189

5.4.2 旋转体的体积192

5.4.3 定积分在物理学中的应用194

5.5 重积分196

5.5.1 二重积分的概念196

5.5.2 二重积分的性质198

5.5.3 二重积分的计算199

5.5.4 二重积分的应用205

5.6 积分的近似计算207

5.6.1 矩形法208

5.6.2 梯形法209

5.6.3 抛物线法209

5.6.4 广义积分的近似计算211

5.6.5 二重积分的近似计算211

5.7 曲线积分212

5.7.1 对弧长的曲线积分213

5.7.2 对坐标的曲线积分215

5.7.3 格林公式219

5.7.4 平面上曲线积分与路径无关的条件221

小结223

习题226

第六章 级数与逼近234

6.1 问题的引入234

6.2 常数项级数的概念和性质235

6.2.1 常数项级数及其敛散性概念235

6.2.2 收敛级数的基本性质238

6.3 常数项级数的敛散性判别法241

6.3.1 正项级数及其敛散性判别法242

6.3.2 交错级数及其敛散性判别法247

6.3.3 绝对收敛与条件收敛248

6.4 函数项级数250

6.4.1 函数项级数的概念250

6.4.2 幂级数及其收敛半径和收敛域251

6.4.3 幂级数的运算254

6.5 函数展开成幂级数256

6.5.1 泰勒级数256

6.5.2 函数展开成幂级数261

6.5.3 幂级数在近似计算中的应用265

6.6 函数逼近267

6.6.1 多项式插值267

6.6.2 分段插值法271

6.7 曲线拟合的最小二乘法273

6.7.1 直线拟合273

6.7.2 多项式拟合275

小结276

习题279

第七章 微分方程283

7.1 微分方程的基本概念283

7.1.1 例283

7.1.2 微分方程的基本概念286

7.2 一阶微分方程287

7.2.1 变量分离方程288

7.2.2 可化为变量分离方程的类型289

7.2.3 一阶线性微分方程291

7.2.4 贝努利方程295

7.3 二阶线性微分方程296

7.3.1 二阶线性微分方程的解的结构296

7.3.2 二阶常系数线性微分方程298

7.4 可降阶的高阶微分方程308

7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程308

7.4.2 y"=f(x,y')型的微分方程309

7.4.3 y"=f(y,y')型的微分方程310

7.5 微分方程组311

7.6 微分方程的近似解314

7.6.1 欧拉折线法314

7.6.2 改进的欧拉折线法315

7.6.3 龙格-库塔法316

7.7 微分方程在实际中的应用317

7.7.1 浓度问题317

7.7.2 压强问题318

7.7.3 力学问题320

7.7.4 质点振动问题321

7.7.5 R—L电路问题323

7.7.6 经济分析中的问题324

7.7.7 其他问题325

小结327

习题329

习题答案335

参考文献351