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第一章 泛函分析基础1

1 拓扑空间1

1·1 拓扑空间1

1·2 闭集、邻域、聚点、闭包2

1·3 邻域基2

1·4 Hausdorff 空间、序列的收敛性、映射的连续性3

1·5 度量空间3

1·6 完备性4

1·7 列紧性6

1·8 线性拓扑空间7

1·9 半范数 局部凸线性拓扑空间8

1·10 空间 Cm(Ω)和C∞0(Ω)的拓扑化9

1·11 赋范空间及其完备化11

1·12 内积空间及其完备化12

2 开映射定理15

2·1 Banach 空间的 Bairé 性质15

2·2 线性算子15

2·3 开映射定理17

2·4 逆算子定理19

2·5 闭图形定理20

2·6 线性算子的强扩张20

3 共鸣定理23

3·1 共鸣定理23

3·2 共鸣定理的两个推论24

3·3 Banach-Sake 定理26

4 Riesz 表现定理27

4·1 正交投影定理27

4·2 Riesz 表现定理28

4·3 Hilbert 空间的共轭空间30

4·4 Lax-Milgram 定理31

5 Hahn-Banach 延拓定理33

5·1 连续函数的延拓33

5·2 Zorn 引理34

5·3 线性空间中的 Hahn-Banach 延拓定理35

5·4 线性赋范空间中的 Hahn-Banach 延拓定理37

5·5 Hahn-Banach 延拓定理的推论，共轭空间38

5·6 Hahn-Banach 延拓定理的几何形式、凸集分离定理40

6 弱收敛和弱收敛43

6·1 弱收敛43

6·2 弱收敛45

6·3 弱列紧46

7 线性算子的共轭算子和弱扩张47

7·1 有界线性算子的共轭算子47

7·2 一般线性算子的共轭算子48

7·3 线性算子的(弱)闭扩张49

7·4 微分算子的弱扩张50

8 算子方程50

8·1 线性算子的豫解集和谱50

8·2 有界线性算子方程52

8·3 紧线性算子53

8·4 紧线性算子的例——Fredholm 型积分算子56

8·5 紧线性算子方程 Riesz-Schauder 理论59

习题67

第二章 索伯列夫空间71

1 空间 Lp(Ω)71

1·1 空间 Lp(Ω)(1≤P≤∞)的定义及其基本特性71

1·2 空间 Lp(Ω)(1≤P≤∞)的子集为列紧的条件72

2 磨光算子 均值逼近73

2·1 磨光算子的定义73

2·2 对 Lp(Ω)中函数的均值逼近74

2·4 对空间 ？p(Ω)(1≤P＜∞)中函数的均值逼近77

2·3 变分法基本引理77

2·5 单位分解定理79

3 广义微商80

3·1 弱广义微商81

3·2 强广义微商 逐项求微商83

3·3 广义微商对函数的局部依赖性87

3·4 广义微商的运算法则88

4 索伯列夫空间89

4·1 索伯列夫空间的定义及其基本性质89

4·2 C∞(Ω)在 Wm,p(Ω)(1≤P＜∞)的稠密性91

4·3 坐标变换93

4·4 L-型域 锥性质95

4·5 中间微商的插值不等式 C∞?(RN)在 Wm,p(Ω)的稠密性98

4·6 Wm,p(Ω)中函数的边界值107

5 嵌入定理111

5·1 嵌入的概念111

5·2 CmB(Ω)上的索伯列夫积分恒等式111

5·3 位势型积分算子116

5·4 Wm,p(Ω)中的索伯列夫积分恒等式121

5·5 嵌入定理123

5·6 等价范数定理127

6 非整数次的索伯列夫空间129

6·1 速降广义函数129

6·2 Fourier 变换132

6·3 非整数次空间 Hs(RN)134

6·4 非整数次空间 Hs(Ω)137

6·5 非整数次空间 H-S0(Ω)(s＞0)138

6·6 迹空间139

习题142

第三章 拓扑度与不动点原理143

1 欧氏空间中连续映射的拓扑度143

1·1 正规映射的拓扑度143

1·2 连续映射的拓扑度及其性质151

2 Banach 空间中全连续场的拓扑度158

3 A-proper 映射的广义拓扑度162

4 不动点原理164

4·1 Brouwer 不动点定理与开集不变性定理164

4·2 Schauder 不动点定理和 Красносельскии 不动点定理165

4·3 Leray-Schauder 不动点原理167

4·4 边界条件与不动点定理168

5 不动点算子方程的近似可解性169

习题171

第四章 Banach 空间的微分学174

1 向量值函数的微积分174

1·1 向量值函数的导数和 Riemann 积分174

1·2 向量值函数的 Bochner 积分177

2 Gateaux 微分180

3 Frechet 微分183

3·1 Frechet 微分的定义及性质183

3·2 Frechet 微分与 Gateaux 微分的关系187

4 高阶微分188

5 中值公式 Taylor 公式191

5·1 中值公式191

5·2 Taylor 公式194

6 梯度算子的判别条件195

7 隐函数定理199

7·1 偏导数的概念199

7·2 隐函数定理200

7·3 推广的隐函数定理204

8 分歧方程206

习题209

1·1 压缩映射213

1 简单的迭代法213

第五章 迭代法213

1·2 非膨胀算子218

1·3 加速迭代，切比晓夫迭代219

2 解非齐次方程的迭代法222

2·1 迭代法的一般形式222

2·2 差分程序与松驰法的变体227

3 迭代程序的建立229

3·1 Newton 方法229

3·2 Newton 程序的收敛性定理230

3·3 Newton 方法的变形，简化的 Newton 方法236

3·4 Newton 方法的应用240

3·5 梯度法(最速下降法)247

4 连续法252

4·1 连续法252

4·2 延拓理论253

4·3 数值连续法259

4·4 Davidenko 方法263

习题265

第六章 变分原理266

1 泛函的无约束极值266

1·1 极值存在的必要条件266

1·2 弱下半连续条件与极值存在性267

1·3 位势型算子方程的可解性271

1·4 PS 条件与爬山引理278

1·5 极值问题的有限维近似284

2 泛函的约束极值287

2·1 Lagrange 乘子288

2·2 非线性本征值问题290

2·3 本征值问题的 Galerkin 近似296

2·4 Kuhn-Tucker 定理与对偶原理297

3 凸集上的泛函极值302

3·1 凸集上可微泛函的极值302

3·2 凸集上非光滑泛函的极值305

3·3 Ritz 方法308

4 极值解的迭代法310

4·1 下降法的一般原理310

4·2 迭代投影法311

4·3 罚函数方法313

习题316

第七章 算子方程的投影解法318

1 投影解法的概述318

2 第二型 Fredholm 方程的投影解326

2·1 第二型方程的投影近似可解性326

2·2 应用举例——Fredholm 积分方程的投影近似解328

3 线性算子方程的投影解330

3·1 有界线性算子方程的投影解330

3·2 稠定线性算子方程的广义解及其投影近似334

3·3 具列紧扰动的线性算子方程的广义解及其投影近似338

3·4 二阶椭圆型方程的 Dirichlet 问题的广义解及其投影逼近340

3·5 计算过程的稳定性343

3·6 本征值问题的投影近似345

4 非线性算子方程的投影解346

4·1 单调算子346

4·2 单调算子方程的投影近似可解性349

4·3 具列紧扰动的单调算子方程353

4·4 应用举例——非线性椭圆方程的边值问题355

习题358

第八章 逼近论360

1 最佳逼近360

1·1 最佳逼近问题的一般提法360

1·2 线性赋范空间中最佳逼近元的存在性与唯一性362

1·3 线性赋范空间中最佳逼近元的特征365

2 插值逼近371

2·1 插值逼近问题的一般提法371

2·2 多项式插值的例子372

2·3 一般的插值逼近的误差估计381

3 样条逼近386

3·1 插值样条的抽象提法386

3·2 插值样条的特征，唯一性和存在性389

3·3 插值样条的构造391

3·4 插值样条的收敛性398

3·5 平滑样条402

习题408

参考文献411