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第一章 概论1

第二章 反演问题的概率方法4

2.1 模型空间和数据空间4

2.1.1 物理系统4

2.1.2 模型空间4

2.1.3 数据空间5

2.1.4 联合参数空间5

2.2 信息6

2.2.1 测度、概率6

2.2.2 信息状态9

2.3 反演问题的概率论方法13

2.3.1 模型参数的先验信息13

2.3.2 测量得到的信息16

2.3.3 物理理论的信息18

2.3.4 模型参数的先验信息、观测数据的信息和理论信息的组合19

2.3.5 反演问题的概率论方法19

2.3.6 后验信息22

2.4 量化参数的反演24

第三章 高斯概率分布下的反演问题28

3.1 高斯概率分布条件下的反演28

3.1.1 物理理论可用显式d=g（m）表达28

3.1.2 物理理论仅能用隐式f(d,m)=0表达34

3.1.3 高斯概率分布条件下反演的例子——曲线拟合39

3.2 高斯概率分布反演结果的误差和分辨率46

3.2.1 模型参数的后验协方差算子46

3.2.2 模型空间的分辨率分析48

3.2.3 参数的归一化49

3.2.4 数据的后验协方差算子49

3.2.5 用残差判断先验协方差算子估计值的合理性50

3.3 范数、内积、对偶空间及有关算子52

3.3.1 最小二乘准则下的距离、范数和内积52

3.3.2 对偶空间53

3.3.3 转置算子、伴随算子和对偶算子55

3.4 最小二乘准则条件下极值问题的解法57

3.4.1 S（m）的梯度和海赛（Hesse）算子57

3.4.2 迭代的收敛速度和终止准则60

3.4.3 最速下降法61

3.4.4 拟牛顿法64

3.4.5 共轭梯度法66

3.4.6 预条件法75

3.4.7 变尺度法76

第四章 反演问题的lp范数准则87

4.1 lp范数87

4.1.1 lp范数的定义87

4.1.2 lp范数空间中的圆89

4.1.3 ιp范数空间的对偶空间89

4.1.4 ιp范数空间中失配函数S（m）的梯度和最速上升方向93

4.2 lp范数空间的反演问题94

4.2.1 反演问题的ιp范数准则94

4.2.2 ιp范数空间反演问题的失配函数及其梯度、海赛算子95

4.2.3 ιp范数准则下的反演方法100

4.3 l1范数空间的反演问题103

4.3.1 反演问题的l1范数准则103

4.3.2 l1范数准则反演问题的FIFO方法106

4.4 l1范数准则下反演的线性规划方法109

4.4.1 线性规划的基本原理109

4.4.2 线性规划的单纯形法114

4.4.3 将l1范数下的极小值问题化为线性规划问题117

第五章 直接反演方法119

5.1 试错法119

5.2 网格搜索法119

5.3 单纯形替换法120

5.3.1 初始单纯形的选取121

5.3.2 单纯形替换算法122

5.4 样板搜索法124

5.5 蒙特卡罗法127

5.5.1 随机搜索的蒙特卡罗法127

5.5.2 概率积分的蒙特卡罗法129

5.5.3 蒙特卡罗数值积分130

5.6 模拟退火非线性反演131

5.7 遗传算法136

5.7.1 遗传算法概述136

5.7.2 遗传算法中的若干要素141

5.7.3 遗传操作145

5.7.4 遗传算法的算例148

第六章 连续模型空间的反演149

6.1 函数空间149

6.1.1 函数、函数空间、线性向量空间149

6.1.2 度量空间150

6.1.3 线性算子153

6.1.4 线性向量空间的对偶空间154

6.1.5 Hilbert空间155

6.1.6 Lp空间和Sobolev空间157

6.2 随机函数159

6.2.1 随机函数159

6.2.2 对偶空间及其协方差算子160

6.2.3 一般随机函数161

6.3 协方差算子162

6.3.1 协方差算子162

6.3.2 随机函数的协方差函数163

6.3.3 自相关函数164

6.3.4 协方差函数的逆164

6.3.5 协方差算子的平方根169

6.3.6 函数空间的微商算子和转置算子170

6.4 函数空间中的最小二乘反演173

6.4.1 将最小二乘反演由离散空间推广到函数空间173

6.4.2 地震射线层析成像的反演问题175

第七章 线性系统的反演问题182

7.1 基于Lanczos矩阵分解的广义反演算法182

7.1.1 矩阵的Lanczos分解方法182

7.1.2 广义逆188

7.1.3 广义逆解的分辨率191

7.1.4 广义逆解的协方差193

7.2 最大似然解194

7.3 随机逆195

7.3.1 随机逆算法195

7.3.2 随机逆算法与其它反演算法的比较198

7.4 Backus-Gilbert反演算法199

7.4.1 BG极小解逆199

7.4.2 BG最佳分辨逆201

7.4.3 BG最佳分辨逆和模型参数误差之间的折衷205

第八章 层析成像206

8.1 雷当变换及雷当逆变换206

8.1.1 雷当变换206

8.1.2 雷当逆变换208

8.1.3 球面雷当变换和逆变换210

8.2 卷积重建法实现雷当逆变换214

8.3 傅里叶变换图像重建218

8.3.1 傅里叶变换投影定理218

8.3.2 傅里叶变换图像重建技术220

8.3.3 褶积滤波图像重建221

8.4 图像函数的分块重建方法223

8.5 基函数展开图像重建226

8.5.1 基函数展开图像重建方法226

8.5.2 矩形区域内的基函数展开图像重建229

8.5.3 圆周形区域内的基函数展开图像重建230

8.6 图像的代数重建技术（ART）231

8.6.1 最优化准则231

8.6.2 代数重建法（ART）234

8.6.3 离散反投影236

8.6.4 代数重建的松弛法236

8.6.5 加法代数重建法240

8.7 二次最优化准则下的SIRT方法243

8.7.1 二次最优化准则问题的基本思路243

8.7.2 求解线性方程组的SIRT方法245

8.7.3 Kaczmaz方法及其平均形式248

附录一 两个高斯概率密度函数乘积的积分250

附录二 两个重要恒等式的证明252

附录三 协方差矩阵的平方根及其归一化253

附录四 有关χ2（<m>）的公式（3.2.39）的证明255

附录五 最速上升方向256

附录六 一些变尺度算法中搜索方向的共轭性质258

附录七 最小二乘准则下S（m）极值问题的公式262

附录八 三维指数协方差算子的逆算子268

附录九 雷当逆变换的证明271

参考文献275