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目录1

第1章　函数与极限1

1.1　函数的概念1

1.1.1　邻域1

1.1.2　函数的定义1

1.1.3　函数的性质3

1.1.4　函数的四则运算4

1.1.5　复合函数与反函数6

习题1-17

1.2　数列的极限8

1.2.1　数列的极限8

1.2.2　数列极限的性质11

习题1-212

1.3　函数的极限13

1.3.1 自变量趋于有限值时函数的极限13

1.3.2　自变量趋向无穷大时函数的极限16

1.3.3　无穷小量与无穷大量17

1.3.4　海涅（Heine）定理19

习题1-320

1.4　函数极限的性质与运算21

1.4.1　极限与函数值的关系21

1.4.2　函数极限与无穷小的关系22

1.4.3　无穷小的性质22

1.4.4　极限的四则运算定理23

习题1-426

1.5　极限存在准则及两个重要极限27

1.5.1　夹逼准则27

1.5.2　单调有界准则29

习题1-531

1.6　无穷小量的比较32

习题1-634

1.7　连续函数35

1.7.1　函数的连续性35

1.7.2　函数的间断点36

1.7.3　初等函数的连续性38

1.7.4　闭区间上连续函数的性质41

1.7.5　一致连续概念43

习题1-744

1.8　应用45

习题1-849

复习题150

1.9　数学实验：函数，极限，连续51

第2章　导数与微分61

2.1　导数概念61

2.1.1　引例61

2.1.2　导数的定义62

2.1.3　导数的几何意义63

2.1.4　函数的可导性与连续性的关系64

2.1.5　基本初等函数的导数65

2.2　函数的求导法则67

习题2-167

2.2.1　函数的和、差、积、商的求导法则68

2.2.2　反函数的求导法则69

2.2.3　复合函数的求导法则71

习题2-274

2.3　高阶导数75

2.3.1　高阶导数的定义75

2.3.2　二函数乘积求导的莱布尼兹（Leibniz）公式77

习题2-378

2.4　隐函数及参量函数的导数79

2.4.1　隐函数的导数79

2.4.2　参量函数的导数81

2.4.3　极坐标系下曲线切线的斜率83

2.4.4　相关变化率84

习题2-485

2.5　函数的微分86

2.5.1　微分的概念86

2.5.2　微分的几何意义88

2.5.3　微分公式88

2.5.4　复合函数的微分法则89

习题2-591

2.6　应用92

习题2-696

复习题296

2.7　数学实验：导数，微分98

3.1.1　罗尔定理103

第3章　导数的应用103

3.1　微分中值定理103

3.1.2　拉格朗日中值定理104

3.1.3　柯西中值定理105

习题3-1106

3.2　罗必塔（L’Hospital）法则106

3.2.1　？型未定式107

3.2.2　？型未定式108

3.2.3　其它类型的未定式109

习题3-2111

3.3　函数的单调性与极值112

3.3.1　函数单调性的判定法112

3.3.2　函数的极值及其求法114

习题3-3117

3.4　函数的最大值、最小值118

习题3-4120

3.5　曲线的凹凸性与拐点121

习题3-5124

3.6　函数图形的描绘124

3.6.1　曲线的渐近线125

3.6.2　函数图形的描绘126

习题3-6128

3.7　曲率129

3.7.1　弧微分129

3.7.2　曲率及其计算公式130

3.7.3　曲率圆与曲率半径134

3.7.4 渐屈线与渐伸线135

习题3-7137

3.8　泰勒（Taylor）公式138

习题3-8142

3.9　应用143

习题3-9146

复习题3147

3.10　数学实验：微分中值定理，导数应用148

第4章　不定积分154

4.1　不定积分的概念154

4.1.1　原函数与不定积分154

4.1.3　基本积分表156

4.1.2　不定积分的性质156

习题4-1158

4.2　换元积分法158

4.2.1　第一类换元积分法158

4.2.2　第二类换元积分法162

习题4-2165

4.3　分部积分法166

习题4-3169

4.4　几类函数的积分法170

4.4.1　有理函数的积分170

4.4.2　三角函数有理式的积分174

4.4.3　两种无理函数的积分176

复习题4179

习题4-4179

4.5　数学实验：不定积分181

第5章　定积分185

5.1　定积分的概念185

5.1.1　定积分问题的两个引例185

5.1.2　定积分的定义187

5.1.3　定积分的几何意义189

习题5-1191

5.2　定积分的性质192

5.2.1　定积分的性质192

5.2.2　定积分的中值定理194

习题5-2195

5.3.1　变上限的定积分196

5.3　定积分与原函数的关系196

5.3.2　牛顿-莱布尼兹公式198

习题5-3199

5.4　定积分的计算方法201

5.4.1　定积分的换元公式201

5.4.2　定积分的分部积分公式204

习题5-4206

5.5　广义积分与Г函数207

5.5.1　积分区间为无穷的广义积分208

5.5.2　无界函数的广义积分210

5.5.3　Г函数212

习题5-5213

5.6.1　求平面图形的面积S215

5.6　定积分在几何上的应用215

5.6.2　求立体的体积V219

5.6.3　求平面曲线的弧长s222

5.6.4　求旋转体的侧面积224

习题5-6226

5.7　定积分在物理上的应用227

5.7.1　求变力所作的功227

5.7.2　求引力的问题229

5.7.3　求液体的侧压力230

5.7.4　求函数的平均值231

习题5-7231

5.8.1　最大利润232

5.8　定积分在经济上的应用232

5.8.2　供需平衡233

习题5-8235

复习题5235

5.9　数学实验：定积分239

第6章　空间解析几何与向量代数246

6.1　空间直角坐标系246

习题6-1248

6.2　向量代数249

6.2.1　向量概念249

6.2.2　向量的加法与数乘运算249

6.2.3　向量的坐标表达式250

6.2.4　两向量的数量积、向量积253

习题6-2256

6.3　平面方程和空间直线方程257

6.3.1　平面方程257

6.3.2　直线方程260

6.3.3　平面束的方程263

习题6-3264

6.4　曲面及其方程265

6.4.1　柱面265

6.4.2　旋转面266

6.4.3　二次曲面267

习题6-4270

6.5　向量值函数和空间曲线271

6.5.1　向量值函数和空间曲线271

6.5.2　空间曲线的一般方程272

6.5.3　空间曲线在坐标面上的投影曲线273

习题6-5274

6.6　空间运动的速度和加速度274

6.6.1　加速度的切线分量与法线分量276

6.6.2　行星运动的开普勒定律277

习题6-6278

复习题6279

6.7　数学实验：空间解析几何与向量代数280

附录1　Mathematica入门289

附录2　几种常用的曲线295

附录3　积分表298

附录4　习题参考答案307