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第1章 绪论1

1.1分数阶微积分的起源与发展1

1.2分数阶微积分理论研究及其主要应用4

1.2.1分数阶微积分理论研究5

1.2.2分数阶微积分应用于描述各种物理系统和材料的动力学行为5

1.2.3分数阶微积分应用于生物工程7

1.2.4分数阶微积分应用于动力学系统8

1.2.5分数阶微积分应用于控制系统8

1.2.6分数阶微积分应用于信号处理9

1.3本书的主要内容11

第2章 分数阶微积分的基本理论14

2.1分数阶微积分四种常用的时域定义14

2.1.1 Grunwald-Letnikov定义14

2.1.2 Riemann-Liouville定义16

2.1.3 Caputo定义16

2.1.4特殊函数及其性质16

2.1.5分数阶Cauchy积分公式18

2.1.6各分数阶微积分定义的关系18

2.1.7分数阶微分和积分的关系19

2.2分数阶微积分三种常用的频域定义19

2.2.1 Fourier变换域定义19

2.2.2 Laplace变换域定义20

2.2.3 Wavelet变换域定义21

2.3半微分与半积分23

2.3.1半微分与半积分定义23

2.3.2半微分与半积分的性质23

2.3.3常用函数的半微分与半积分的运算结果24

2.4分数阶微分方程25

2.5分数阶微积分运算的物理意义与几何意义27

2.5.1分数阶微积分的物理意义解释27

2.5.2分数阶微积分的几何意义解释28

2.6分数阶微积分的自然界实现29

2.6.1分数阶微积分自然界物质的实现30

2.6.2分数阶微积分模拟电路实现30

2.7分数阶微积分的一些应用32

第3章 连续子波变换数值实现中起始尺度的确定以及信号时间和扫描时间之间的几何关系34

3.1问题提出34

3.2连续子波的选择36

3.3（复）解析母波的尺度采样间隔的推导36

3.3.1理论分析36

3.3.2 Morlet母波的尺度采样间隔的确定38

3.4（实）偶母波的尺度采样间隔的推导38

3.4.1理论分析38

3.4.2（实）偶Gauss函数各阶导数解析母波的尺度采样间隔的确定40

3.4.3（实）偶Gauss函数各阶导数解析母波相应的数字滤波器的波纹系数42

3.5（实）奇母波的尺度采样间隔的推导43

3.5.1理论分析43

3.5.2（实）奇Gauss函数各阶导数解析母波尺度采样间隔和时间平移量的确定44

3.5.3（实）奇Gauss函数各阶导数解析母波相应的数字滤波器的波动性45

3.6二进点格采样及二进抽取采样时起始尺度的确定46

3.7推导连续子波变换中信号时间和扫描时间之间的几何关系47

3.8本章总结48

第4章 现代信号分析与处理中分数阶微积分的数值实现49

4.1问题提出49

4.2信号分数阶微积分的幂级数算法51

4.2.1理论分析51

4.2.2实验仿真及结果分析53

4.3信号分数阶微积分的Fourier级数算法53

4.3.1理论分析54

4.3.2实验仿真及结果分析57

4.4信号分数阶微分基于Grunwald-Letnikov定义算法58

4.4.1理论分析58

4.4.2实验仿真及结果分析59

4.5信号分数阶微分基于子波变换的算法61

4.5.1理论分析61

4.5.2实验仿真及结果分析64

4.6信号分数阶微分基于子波变换的快速工程算法65

4.6.1理论分析65

4.6.2实验仿真及结果分析66

4.7本章总结69

第5章 分数阶微积分数字滤波器设计方案70

5.1引言70

5.2理想的分数阶微积分数字滤波器71

5.3经典滤波器设计方法设计分数阶微积分滤波器的缺陷72

5.3.1加窗函数法设计分数阶微积分数字滤波器72

5.3.2频率抽取法设计分数阶微积分数字滤波器74

5.3.3 Chebyshev最佳一致逼近方法设计分数阶微积分运算数字滤波器75

5.4已有的分数阶微积分数字滤波器设计方法76

5.4.1有理分式级联法设计IIR分数阶微积分数字滤波器76

5.4.2基于Taylor级数展开法设计FIR分数阶微积分数字滤波器77

5.4.3 Tustin算子Muir迭代方法设计IIR分数阶微积分滤波器79

5.4.4 Al-Alaoui算子连分式展开法设计IIR分数阶微积分滤波器80

5.4.5 Simpson积分算子与梯形积分算子加权和方法设计分数阶微积分IIR字滤波器82

5.4.6小结82

5.5基于sinc函数抽样法设计分数阶微积分数字滤波器方案83

5.5.1基于sinc函数抽样法设计分数阶微积分数字滤波器理论推导83

5.5.2 sinc函数及其微分函数高频不增性84

5.5.3算法仿真实现84

5.5.4小结86

5.6基于Pade逼近与连分式展开法设计分数阶微积分数字滤波器86

5.6.1 Pade逼近法理论87

5.6.2连分式展开原理90

5.6.3计算机仿真结果92

5.6.4与己有分数阶微积分运算数字滤波器设计算法的比较98

5.6.5小结99

5.7基于人工神经网络逼近方法设计分数阶微积分数字滤波器99

5.7.1人工神经网络概要99

5.7.2基于泛函连接神经网络的逼近方法原理103

5.7.3指数基函数神经网络设计分数阶微积分运算数字滤波器104

5.7.4三角函数神经网络设计线性相位分数阶微积分运算数字滤波器107

5.7.5算法仿真结果110

5.7.6与已有分数阶微积分运算数字滤波器设计方法的比较113

5.7.7小结114

5.8基于遗传算法设计分数阶微积分数字滤波器114

5.8.1遗传算法简介115

5.8.2 IIR滤波器设计117

5.8.3遗传算法优化设计分数阶IIR微积分数字滤波器117

5.8.4遗传算法参数选择121

5.8.5遗传算法仿真结果122

5.8.6与已有分数阶微积分运算数字滤波器设计方法的比较124

5.8.7小结126

5.9多种分数阶微积分数字滤波器设计方案的比较126

5.10本章总结127

第6章 用无源元件实现分数阶模拟分抗电路129

6.1问题提出129

6.2模拟分抗电路的阻抗特性130

6.2.1一阶R-C电路的微分特性130

6.2.2模拟分抗电路的阻抗特性133

6.3构造1／2阶微积分的模拟分抗电路133

6.3.1经典的树型1／2阶模拟分抗电路133

6.3.2两回路串联的1／2阶模拟分抗电路135

6.3.3 H型1／2阶模拟分抗电路136

6.3.4网格型1／2阶模拟分抗电路137

6.3.5分析比较四种1／2阶模拟分抗电路139

6.4构造1／2n阶模拟分抗电路139

6.4.1 1／4阶模拟分抗电路139

6.4.2 1／2n阶模拟分抗电路141

6.4.3分析1／2n阶模拟分抗电路141

6.5构造任意分数阶模拟分抗电路142

6.5.1 2／3阶模拟分抗电路142

6.5.2 1／3阶模拟分抗电路142

6.6实验仿真及结果分析143

6.7本章总结150

第7章 用有源元件实现分数阶模拟分抗电路151

7.1引言151

7.2分抗电路实现模型151

7.2.1分抗元件的定义152

7.2.2分数阶低通与分数阶高通电路152

7.3目前已经提出的模拟分抗电路实现方法154

7.3.1树状结构1／2阶分抗实现154

7.3.2链状分抗电路实现155

7.3.3网格型分抗电路实现156

7.3.4梯形分抗元件实现方案157

7.3.5小结157

7.4基于一阶Newton法与加速迭代过程设计分数阶微积分分抗电路158

7.4.1非线性方程一阶Newton法求根158

7.4.2 Steffensen加速迭代收敛方法160

7.4.3 Foster电路综合法与Cauer电路综合法160

7.4.4仿真设计结果162

7.4.5与已有设计方法的对比166

7.4.6小结167

7.5基于有源OTA器件设计分数阶微积分分抗电路168

7.5.1树状1／2阶分抗实现方案分析168

7.5.2电流型跨导运算放大器173

7.5.3有源OTA器件分数阶微积分运算电路实现方案174

7.5.4仿真设计误差分析176

7.5.5与已有设计方案的比较177

7.5.6小结177

7.6基于有源OTA器件设计可变阶次分抗电路178

7.6.1可变阶次分抗电路实现原理178

7.6.2基于有源OTA器件设计分数阶微分可变阶次分抗180

7.6.3基于有源OTA器件设计分数阶积分可变阶次分抗182

7.6.4计算机仿真实现183

7.6.5与已有的设计方案的比较186

7.6.6小结186

7.7本章总结187

第8章 任意分数阶神经型脉冲振荡器189

8.1问题提出189

8.2 1／2阶网格型模拟分抗的等效实现及其电路特性190

8.2.1 1／2阶网格型模拟分抗的晶体谐振体实现190

8.2.2 1／2阶网格型模拟分抗的差接变量器实现191

8.2.3 1／2阶网格型模拟主值分抗的频率特性193

8.3基于分数阶演算的分数阶神经型振荡器194

8.4实验仿真及结果分析195

8.5本章总结197

第9章 任意分数阶的多层动态联想神经网络的构造198

9.1问题提出198

9.2多层动态联想神经网络199

9.3基于广义Hebb规则的多层动态联想神经网络学习算法201

9.3.1理论分析201

9.3.2实验仿真及结果分析205

9.4构造阶次任意的分数阶多层动态联想神经网络207

9.4.1理论分析207

9.4.2实验仿真及结果分析210

9.5本章总结212

第10章 分数阶微积分运算在数字水印中的应用213

10.1分数阶微积分应用概况213

10.2分数阶微积分运算应用于数字水印系统设计213

10.2.1引言213

10.2.2数字水印技术214

10.2.3分数阶微积分运算对正弦信号的处理216

10.2.4数字水印系统的实现217

10.2.5系统性能仿真分析219

10.2.6小结224

10.3本章总结224

第11章 二维数字图像信号分数阶微分的数值实现226

11.1问题提出226

11.2分数阶微积分与其他时-频分析之间的关系推导227

11.3分数阶微积分在信号调制解调方面应用的理论分析229

11.4分数阶微积分在动力学系统中的物理意义探究229

11.5图像分数阶微积分的侧抑制原理分析231

11.5.1马赫带231

11.5.2侧抑制原理232

11.5.3视网膜神经节细胞感受野及其数学模型232

11.5.4侧抑制原理与边缘提取的数学模型234

11.5.5图像信号分数阶微积分的拮抗特性与纹理细节提取237

11.6二维数字图像分数阶微分的数值实现243

11.6.1理论分析243

11.6.2实验仿真及结果分析250

11.7分数阶微分在边缘检测中的应用263

11.7.1基于分数阶图像增强算子的两种边缘检测方法263

11.7.2基于分数阶微分的CRONE边缘检测算子265

11.7.3 CRONE算子性能分析268

11.7.4基于差分的分数阶边缘检测算子271

11.8基于分数阶积分的图像平滑274

11.8.1分数阶积分的差分定义274

11.8.2实验结果分析275

11.9本章总结277

参考文献279

跋295