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第1部分 算术1

第1章 算术1

1.1 数的概念、性质和运算1

1 数的概念1

2 数的整除1

目录1

3 数的四则运算2

4 比和比例2

1.2 应用问题举例3

1 整数和小数四则运算应用题3

2 分数与百分数应用题7

3 简单方程应用题9

4 比和比例应用题10

1.3 典型例题12

2.1 实数和复数25

1 实数、数轴25

第2章 数和代数式25

第2部分 初等代数25

2 实数的运算26

3 复数26

2.2 代数式及其运算27

1 整式及其加法与乘法27

2 因式分解28

3 整式的除法29

4 分式30

5 根式31

2.3 典型例题32

第3章 集合、映射和函数35

3.1 集合35

1 集合的概念35

2 集合的包含关系36

3 集合的基本运算36

3.2 映射和函数37

1 映射的概念37

2 函数37

4 函数的单调性、奇偶性和周期性39

3 反函数39

5 幂函数、指数函数和对数函数40

3.3 典型例题43

第4章 代数方程和简单的超越方程46

4.1 概念46

4.2 一元一次方程46

4.3 二元一次方程组46

4.4 一元二次方程47

1 分解因式法48

2 配方法48

3 公式法48

4 根和系数的关系48

5 二次函数的图像和一元二次方程的根49

4.5 一元高次方程50

1 性质50

1 简单的指数方程和对数方程51

4.6 简单的超越方程51

2 分解因式方法51

3 化为低次方程51

2 用函数图像估计解的近似值52

3 求根的二分法52

4.7 典型例题53

1 不等式的概念56

3 基本的不等式56

2 不等式的基本性质56

5.1 不等式的概念和性质56

第5章 不等式56

4 解不等式57

5.2 解含绝对值的不等式57

5.3 解一元二次不等式58

5.4 解简单的一元高次不等式59

5.5 解分式不等式60

5.6 解简单的无理不等式61

5.7 解指数、对数不等式62

5.8 典型例题63

6.1 数列的基本概念67

第6章 数列、数学归纳法67

6.2 等差数列69

6.3 等比数列71

6.4 数学归纳法73

6.5 典型例题74

第7章 排列、组合、二项式定理和古典概率78

7.1 排列和组合78

1 基本概念78

2 排列数和组合数公式78

3 例79

7.2 二项式定理81

7.3 古典概率问题82

1 基本概念82

2 等可能事件的概率84

3 互斥事件有一个发生的概率85

4 相互独立事件同时发生的概率86

7.4 典型例题87

5 独立重复试验87

第3部分 几何与三角91

第8章 常见几何图形91

8.1 常见平面几何图形91

1 三角形91

2 四边形92

3 圆和扇形92

4 平面图形的全等和相似关系93

1 长方体94

8.2 常见空间几何图形94

2 圆柱体95

3 正圆锥体95

4 球95

8.3 典型例题96

第9章 三角学的基本知识103

9.1 三角函数103

1 角和三角函数103

2 同角三角函数的关系104

3 诱导公式104

4 三角函数的图像和性质105

5 例106

9.2 两角和与差的三角函数106

1 两角和与差公式106

2 倍角与半角公式107

3 例107

9.3 解斜三角形108

9.4 反三角函数109

9.5 解简单的三角方程111

9.6 典型例题112

第10章 平面解析几何115

10.1 平面向量115

1 基本概念115

2 向量的加法与数乘115

3 向量的内积116

4 有向线段的定比分点117

10.2 直线118

1 直线的方向向量、倾斜角和斜率118

2 直线的方程118

3 两条直线的位置关系119

10.3 圆122

10.4 椭圆122

10.5 双曲线124

10.6 抛物线125

10.7 例125

10.8 典型例题127

1 函数的定义131

11.1 函数及其特性131

第11章 极限与连续131

第4部分 一元函数微积分131

2 函数的特性132

3 复合函数与初等函数133

11.2 数列的极限134

1 数列的极限134

2 数列极限的性质135

3 数列极限的四则运算135

4 数列极限存在的准则135

1 函数极限的定义136

11.3 函数的极限136

3 函数极限的运算法则137

4 两个重要极限137

2 函数极限的性质137

11.4 无穷小量与无穷大量140

1 无穷小量与无穷大量的定义140

2 无穷小量与无穷大量的关系140

4 无穷小量的性质141

5 无穷小量的比较141

3 无穷小量与函数极限的关系141

6 等价无穷小量替换定理142

11.5 函数的连续性143

1 连续的定义143

2 函数间断点及分类144

3 连续函数的运算法则144

4 连续函数在闭区间上的性质145

11.6 典型例题146

1 导数的定义155

第12章 一元函数微分学155

12.1 导数的概念155

2 导数的几何意义157

3 可导性与连续性的关系157

12.2 导数公式与求导法则158

1 导数公式158

2 四则运算的求导法则159

3 复合函数的求导法则160

4 反函数的导数162

5 隐函数的导数162

6 对数求导法163

12.3 由参数方程所确定的函数的导数164

12.4 高阶导数164

12.5 微分167

1 微分的定义167

2 微分与导数的关系167

4 微分基本公式和四则运算法则168

3 微分的几何意义168

5 一阶微分形式不变性169

12.6 中值定理与泰勒公式169

1 罗尔定理169

2 拉格朗日中值定理170

3 柯西中值定理170

4 泰勒公式171

12.7 洛必达法则172

2 函数的极值及判断176

12.8 函数的单调性与极值176

1 函数单调性的判定法176

12.9 函数的最大值、最小值问题179

12.10 曲线的凹凸、拐点及渐近线181

1 曲线的凹凸、拐点181

2 曲线的渐近线182

12.11 典型例题183

2 不定积分基本计算公式195

1 原函数、不定积分的概念195

13.1 不定积分的概念和简单的计算195

第13章 一元函数积分学195

3 不定积分的性质196

13.2 不定积分的计算方法197

1 第一类换元法（凑微分法）197

2 第二类换元法200

3 分部积分法203

13.3 定积分的概念及性质206

1 定积分的概念206

3 定积分的性质207

2 定积分的几何意义207

13.4 微积分基本公式、定积分的计算209

1 牛顿-莱布尼茨公式209

2 变量替换法210

3 分部积分法210

13.5 定积分的应用214

1 平面图形的面积214

2 旋转体体积214

4 平面曲线的弧长215

3 平行截面面积为已知的立体的体积215

13.6 典型例题217

第5部分 线性代数231

第14章 行列式231

14.1 行列式的概念与性质231

1 行列式的定义231

2 行列式的性质232

3 几个特殊的行列式234

14.2 行列式的计算235

14.3 典型例题239

第15章 矩阵245

15.1 矩阵及其运算245

1 矩阵的概念245

2 矩阵的运算246

3 方阵的行列式250

4 特殊矩阵250

2 矩阵可逆的充要条件252

1 可逆矩阵与逆矩阵的概念252

15.2 可逆矩阵252

3 可逆矩阵的性质254

15.3 矩阵的初等变换256

1 初等变换256

2 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵257

15.4 矩阵的秩258

1 矩阵的秩的概念258

2 矩阵的秩的计算259

1 分块矩阵的概念260

3 矩阵运算后秩的变化260

15.5 分块矩阵简介260

2 分块矩阵的乘法261

15.6 典型例题262

第16章 向量270

16.1 n维向量270

1 n维向量的定义270

2 n维向量的运算270

2 向量组的线性相关与线性无关272

1 向量的线性组合与线性表出272

16.2 向量组的线性相关性272

3 其他几个有关的结论274

16.3 向量组的秩275

1 向量组的等价275

2 向量组的秩和最大线性无关组276

3 向量组的秩和矩阵的秩的关系278

16.4 典型例题279

1 非齐次线性方程组286

17.1 线性方程组的基本概念286

第17章 线性方程组286

2 齐次线性方程组287

17.2 求解齐次线性方程组287

1 齐次线性方程组有非零解的条件287

2 齐次线性方程组解的性质288

3 齐次线性方程组解的结构、基础解系288

4 消元法解齐次线性方程组288

2 非齐次线性方程组解的性质和结构292

1 非齐次线性方程组有解的条件292

17.3 求解非齐次线性方程组292

3 消元法解非齐次线性方程组293

17.4 典型例题296

第18章 矩阵的特征值和特征向量303

18.1 特征值和特征向量的基本概念303

1 特征值和特征向量的定义303

2 特征值和特征向量的计算303

3 特征值和特征向量的性质305

2 相似矩阵的性质307

18.2 矩阵的相似对角化问题307

1 相似矩阵的定义307

3 矩阵对角化的条件和方法309

18.3 典型例题313

模拟试题（1）319

模拟试题（2）323

模拟试题答案327

附录1 初等数学中的一些重要公式328

附录2 微积分中的一些常用公式331