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第1章 几何定理机器证明概述1

1.1 模拟人的思维——人工智能的开始1

1.2 Gelernter的几何定理证明机4

1.3 几何定理机器证明的吴方法6

1.4 几何定理自动发现的吴方法12

第1章 小结13

第2章 面积法15

2.1 传统的证明方法和机器证明的比较15

2.2 有向三角形的带号面积18

2.2.1 公理18

2.2.2 基本命题20

2.3 Hilbert交点命题24

2.3.1 命题的描述25

2.3.2 几何命题的谓词形式27

2.4 面积法29

2.4.1 从面积中消去点29

2.4.2 从比例中消去点31

2.4.3 自由点和面积坐标34

2.4.4 几何定理证明举例38

2.4.5 其他的消元技术44

2.5 面积法和仿射几何50

2.5.1 平面仿射几何51

2.5.2 面积法和仿射几何52

2.6 应用55

2.6.1 公式推导55

2.6.2 n3构型的存在性61

2.6.3 Ceva与Menelus定理的推广65

第2章 小结73

第3章 平面几何机器证明75

3.1 勾股差75

3.1.1 勾股差和垂直75

3.1.2 勾股差和平行78

3.1.3 勾股差和面积80

3.2 构造型几何命题82

3.2.1 线性构造型几何命题82

3.2.2 最小构造集合84

3.2.3 谓词形式85

3.3 线性可构型几何命题的机器证明87

3.3.1 算法87

3.3.2 优化的消去技巧93

3.4 比率构造96

3.4.1 更多的比率构造96

3.4.2 全角法的机械化104

3.5 面积坐标111

3.5.1 面积坐标系111

3.5.2 面积坐标和三角形的特殊点113

3.6 三角函数和共圆点120

3.6.1 共圆定理120

3.6.2 共圆点的消去123

3.7 可构型几何命题的机器证明130

3.7.1 从几何量中消点130

3.7.2 伪除法和三角形式133

3.7.3 可构型几何命题的机器证明136

3.8 基于演绎数据库的全角方法140

3.8.1 建立几何信息库141

3.8.2 基于几何信息库的机器证明145

第3章 小结153

第4章 演绎数据库方法155

4.1 结构化的演绎数据库和推理策略155

4.1.1 基于结构化数据的推理155

4.1.2 有关的工作156

4.2 几何推理规则157

4.2.1 几何推理规则158

4.2.2 非退化条件160

4.2.3 准确的数值图形的构造161

4.3 结构化数据库161

4.3.1 数据库的结构161

4.3.2 证明的生成163

4.4 搜索和控制的策略164

4.4.1 基于数据的搜索164

4.4.2 避免冗余推理166

4.5 构造辅助点和Skolem化168

4.6 算法的实现与例题169

4.6.1 算法的实现169

4.6.2 应用170

4.6.3 测试结果和例子171

附录175

第4章 小结178

第5章 立体几何中的定理自动证明179

5.1 带号体积179

5.1.1 共面定理181

5.1.2 体积和平行183

5.1.3 体积与三维仿射几何185

5.2 构造型几何命题190

5.2.1 构造型几何命题190

5.2.2 构造型几何图形193

5.3 线性构造型几何命题的机器证明196

5.3.1 关于体积的消点法196

5.3.2 由面积比中消点199

5.3.3 由长度比中消点202

5.3.4 自由点和体积坐标206

5.3.5 例子208

5.4 空间中的勾股差215

5.4.1 勾股差与垂直215

5.4.2 勾股差与体积218

5.5 体积法220

5.5.1 算法221

5.5.2 例子223

5.6 体积坐标系230

第5章 小结234

第6章 非欧几何定理的机器证明236

6.1 Cayley-Klein九种平面几何236

6.1.1 直线上的三种度量236

6.1.2 角度的三种度量238

6.1.3 九种平面几何238

6.2 Cayley-Klein几何的转化定理245

6.3 双曲几何面积法252

6.4 双曲几何的消元法256

6.4.1 基本几何命题256

6.4.2 从比率中消去点258

6.4.3 从线性的几何量中消去点259

6.4.4 从二次几何量中消去点260

6.4.5 消去自由点261

6.4.6 消去共圆的点262

6.5 算法的实现与例子263

第6章 小结269

第7章 向量和机器证明270

7.1 三维度量空间几何270

7.1.1 内积和度量向量空间271

7.1.2 度量向量空间的外积275

7.2 立体度量几何277

7.2.1 内积和外积279

7.2.2 构造型几何语句281

7.3 基于向量计算的机器证明283

7.3.1 向量消点法283

7.3.2 从内积和外积中消点287

7.3.3 算法289

7.4 度量平面几何中的机器证明291

7.4.1 欧氏平面几何的向量方法292

7.4.2 Minkowsky平面几何中的机器证明296

7.5 使用复数的机器证明300

第7章 小结308

参考文献310

索引317