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第7章　向量代数与空间解析几何1

7.1　向量及其运算1

7.1.1　向量的概念1

7.1.2　向量的运算2

习题7-1（A）7

习题7-1（B）7

7.2　空间坐标系中的向量8

7.2.1　空间直角坐标系8

7.2.2　向量的坐标与坐标分解式9

7.2.3　向量运算的坐标表示11

习题7-2（A）17

习题7-2（B）18

7.3　平面及其方程18

7.3.1　平面的方程18

7.3.2　两平面的夹角22

习题7-3（A）24

习题7-3（B）24

7.4　空间中的直线及其方程25

7.4.1　空间直线的一般式方程25

7.4.2　空间直线的点向式方程和参数方程26

7.4.3　两直线的夹角28

7.4.4　直线与平面的夹角29

7.4.5　平面束方程30

习题7-4（A）31

习题7-4（B）32

7.5　曲面及其方程33

7.5.1　曲面与方程33

7.5.2　两类特殊的曲面34

7.5.3　其他常见的二次曲面38

习题7-5（A）43

习题7-5（B）44

7.6　空间中的曲线及其方程44

7.6.1　空间曲线的一般方程45

7.6.2　空间曲线的参数方程46

7.6.3　空间曲线在坐标面上的投影47

习题7-6（A）49

习题7-6（B）50

7.7　利用软件进行向量运算和画图50

7.7.1　向量的运算50

习题7-751

7.7.2　曲面的绘制51

总习题752

第8章 多元函数微分学55

8.1　多元函数的概念55

8.1.1 平面点集55

8.1.2　二元函数58

习题8-1（A）59

习题8-1（B）60

8.2　多元函数的极限与连续60

8.2.1 多元函数的极限60

8.2.2　多元函数的连续性62

习题8-2（A）64

习题8-2（B）64

8.3　偏导数65

8.3.1　一阶偏导数65

8.3.2 高阶偏导数69

习题8-3（A）71

习题8-3（B）72

8.4　全微分72

8.4.1　二元函数的全微分73

习题8-4（A）79

习题8-4（B）79

8.5　多元复合函数的求导法则80

8.5.1　复合函数的微分法80

8.5.2　一阶全微分形式的不变性85

习题8-5（A）86

习题8-5（B）87

8.6　隐函数的存在定理及微分法87

8.6.1　一个方程时的情况87

8.6.2　方程组时的情形90

习题8-6（A）91

习题8-6（B）92

8.7　多元函数微分学在几何中的应用92

8.7.1 空间曲线的切线与法平面93

8.7.2　曲面的切平面与法线96

习题8-7（A）99

习题8-7（B）99

8.8　方向导数与梯度99

8.8.1　方向导数100

8.8.2　梯度102

习题8-8（A）104

习题8-8（B）105

8.9　多元函数的极值105

8.9.1　多元函数的极值105

8.9.2　多元函数的最值108

8.9.3　条件极值与拉格朗日乘数法110

8.9.4　数学建模的实例114

习题8-9（A）117

习题8-9（B）117

8.10　利用软件计算偏导数117

习题8-10118

总习题8118

第9章　重积分121

9.1　二重积分的概念与性质121

9.1.1　两个实际问题121

9.1.2　二重积分的定义123

9.1.3　二重积分的性质124

9.1.4　二重积分的几何意义125

习题9-1（A）125

习题9-1（B）126

9.2　二重积分的计算127

9.2.1　直角坐标系下二重积分的计算127

9.2.2　极坐标系下二重积分的计算133

习题9-2（A）138

习题9-2（B）140

9.3　三重积分141

9.3.1　三重积分的概念与性质141

9.3.2　在直角坐标系下计算三重积分142

9.3.3　利用柱面坐标计算三重积分145

9.3.4　利用球面坐标计算三重积分148

习题9-3（A）151

习题9-3（B）153

9.4　重积分应用举例153

9.4.1　在几何上的应用153

9.4.2　在物理上的应用157

习题9-4（A）162

习题9-4（B）164

9.5　利用软件计算多元函数的积分164

总习题9165

第10章 曲线积分与曲面积分168

10.1　第一型曲线积分168

10.1.1　第一型曲线积分的定义168

10.1.2　第一型曲线积分的性质170

10.1.3　第一型曲线积分的计算170

习题10-1（A）174

习题10-1（B）174

10.2　第二型曲线积分175

10.2.1　一个实际问题175

10.2.2　第二型曲线积分的定义与性质176

10.2.3　第二型曲线积分的计算178

10.2.4　两类曲线积分之间的联系183

习题10-2（A）184

习题10-2（B）185

10.3　格林公式 曲线积分与路径无关的条件185

10.3.1　单连通区域与多连通区域186

10.3.2　格林公式187

10.3.3 平面上第二型曲线积分与路径无关的条件191

10.3.4　二元函数的全微分求积193

10.3.5　全微分方程197

习题10-3（A）199

习题10-3（B）200

10.4　第一型曲面积分200

10.4.1　第一型曲面积分的概念与性质201

10.4.2　第一型曲面积分的计算202

习题10-4（A）204

习题10-4（B）204

10.5　第二型曲面积分205

10.5.1　有向曲面及其侧205

10.5.2　第二型曲面积分的定义207

10.5.3　第二型曲面积分的性质209

10.5.4　第二型曲面积分的计算210

10.5.5　两类曲面积分之间的联系213

习题10-5（A）216

习题10-5（B）216

10.6 高斯公式与斯托克斯公式217

10.6.1　高斯公式217

10.6.2　通量与散度221

10.6.3　斯托克斯公式222

10.6.4　环流量与旋度224

习题10-6（A）227

习题10-6（B）227

总习题10228

第11章　无穷级数231

11.1　数项级数231

11.1.1　数项级数的概念231

11.1.2　收敛级数的性质234

习题11-1（A）236

习题11-1（B）237

11.2　正项级数收敛的判别法237

习题11-2（A）243

习题11-2（B）244

11.3　任意项级数的收敛与绝对收敛245

11.3.1　任意项级数及其绝对收敛245

11.3.2　交错级数247

11.3.3　条件收敛248

11.3.4　绝对收敛级数的性质249

习题11-3（A）250

习题11-3（B）250

11.4　幂级数250

11.4.1 函数项级数的概念250

11.4.2　幂级数及其收敛域251

11.4.3　幂级数的算术运算法则与和函数的分析性质257

习题11-4（A）259

习题11-4（B）260

11.5　函数的幂级数展开261

11.5.1 函数的泰勒级数261

11.5.2 函数的幂级数展开263

11.5.3 函数的幂级数展开式的应用268

习题11-5（A）271

习题11-5（B）272

11.6　傅里叶级数275

11.6.1　三角函数系与三角级数275

11.6.2　周期函数的傅里叶级数276

11.6.3　周期函数的傅里叶级数展开277

11.6.4　奇偶函数的傅里叶级数279

11.6.5　一般周期函数的傅里叶级数282

习题11-6（A）284

习题11-6（B）285

11.7　利用软件写出泰勒展式和级数求和287

11.7.1　函数的级数展开287

11.7.2　求和288

总习题11289

附录 习题参考答案292