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第1篇 高等数学题型1

第1章 极限和连续1

1.1 重要定理1

1.2 重要公式3

1.3 函数的极限4

题型1 无穷小的比较或确定无穷小的阶4

题型2 求未定式函数极限5

题型3 求分段函数在分界点的极限12

题型4 极限式中常数的确定13

1.4 数列的极限15

题型5 求各种类型（∞/∞型、1∞型、∞-∞型）的数列极限15

题型6 给出数列｛xn｝通项表达式，求极限?17

题型7 数列n项和Sn＝?ai，当n→∞时的极限18

题型8 n个因子乘积，当n→∞时的极限20

1.5 函数的连续性22

题型9 函数连续性的讨论22

题型10 确定函数的间断点及其类型23

1.6 杂例25

题型11 从含有f（x）及?（x）的方程中求解f（x）25

题型12 当x→0时，求含有e?，arctan?，arccot?，｜x｜的极限27

题型13 含f（x＋a）—（x）的非?型极限式且f（x）可导28

第2章 导数与微分29

2.1 导数和微分的概念29

2.2 导数公式和运算法则30

2.3 重要定理31

2.4 与导数定义和性质有关的命题31

题型14 求含有抽象函数的?型极限31

题型15 与抽象函数的导数相关的命题34

题型16 判断函数的可导性36

2.5 各种函数的导数或微分37

题型17 求一元复合函数的导数或微分37

题型18 求参数方程所确定的函数的导数37

题型19 求一元隐函数的导数或微分38

题型20 求幂指函数的导数或微分39

题型21 求函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分40

题型22 求分段函数的导数或微分41

题型23 求简单函数的高阶导数44

第3章 不定积分48

3.1 不定积分48

3.2 三种基本积分方法49

3.3 不定积分中的概念57

题型24 与原函数相关的命题57

3.4 各种函数的不定积分58

题型25 求简单有理函数的不定积分58

题型26 简单无理函数的不定积分60

题型27 三角有理式的积分61

题型28 分段函数的不定积分64

题型29 含对数函数、反三角函数的不定积分66

题型30 复合函数的不定积分67

题型31 计算隐函数的不定积分68

第4章 定积分70

4.1 定积分的基本性质70

4.2 重要定理70

4.3 重要公式71

4.4 计算定积分的方法72

4.5 反常积分73

4.6 与定积分的定义和性质相关的命题75

题型32 定积分的估值75

题型33 变限积分的求导问题76

4.7 各种类型定积分的计算77

题型34 求分段函数的定积分77

题型35 求含有绝对值符号的定积分78

题型36 求被积函数中含有变上限积分的定积分79

题型37 求对称区间［—1，1］上的定积分80

题型38 求周期函数的定积分82

题型39 求被积函数的分母为两项，分子恰为其中一项的定积分83

题型40 求由三角有理式与初等函数通过四则运算、复合运算或变量代换所得式的定积分83

题型41 定积分等式的证明84

题型42 定积分不等式的证明88

4.8 反常积分92

题型43 反常积分的计算及收敛92

第5章 微分中值定理94

5.1 闭区间上连续函数的性质94

5.2 微分中值定理94

5.3 闭区间上连续函数的命题95

题型44 闭区间上连续函数命题的证明95

5.4 中值定理的应用99

题型45 证明给出的函数f（x）满足某中值定理99

题型46 证明某个函数恒等于一个常数的命题100

题型47 命题f（n）（ζ）＝0的证明101

题型48 欲证结论：至少存在一点ζ∈（a，b），使得f（n）（ζ）＝k（k≠0）或由a，b，f（a），f（b），ζ，f（ζ），f′（ζ），…，f（n）（ζ）所构成的代数式成立102

题型49 欲证结论：在（a，b）内至少存在ζ，η（ζ≠η）满足某个代数式105

第6章 一元微积分的应用107

6.1 重要定理和结论107

6.2 导数的应用107

题型50 一元函数单调增减性的判别107

题型51 一元函数极值的判定或求解110

题型52 求一元函数的最值及简单应用111

题型53 曲线的拐点或凹凸区间的判定或求解112

题型54 函数曲线的渐近线方程的计算与导数的判定113

题型55 与曲线曲率相关的命题115

6.3 方程的根116

题型56 方程根的存在性问题116

题型57 方程根的个数的研究117

题型58 方程根的唯一性问题118

6.4 定积分的应用120

题型59 利用微元法解题120

题型60 求平面图形的面积122

题型61 求旋转体的侧面积124

题型62 求已知截面面积的立体体积或旋转体体积126

题型63 求平面曲线的弧长128

题型64 一元积分在物理上的应用129

第7章 常微分方程132

7.1 二阶线性微分方程解的性质132

7.2 二阶线性微分方程解的结构定理132

7.3 一阶微分方程的求解133

题型65 一阶可分离变量方程的求解133

题型66 一阶齐次微分方程的求解134

题型67 一阶线性微分方程的求解136

7.4 二阶或二阶以上微分方程的求解138

题型68 可降阶的高阶微分方程的求解138

题型69 有关二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程解的结构的命题139

题型70 求二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程的通解140

题型71 微分方程在几何中的应用146

题型72 微分方程在物理中的应用147

第8章 多元函数微分学150

8.1 连续、可微和可导的关系150

8.2 多元函数的极值150

8.3 多元函数微分151

题型73 有关二元函数定义域、极限、连续的计算题151

题型74 简单显函数z＝f（x，y）偏导数的计算152

题型75 考查二元函数z＝f（x，y）的连续、偏导及可微性153

题型76 多元复合函数偏导数的计算154

题型77 隐函数偏导数的计算159

题型78 多元函数全微分的计算163

8.4 多元函数的极值和最值164

题型79 求多元函数的极值164

题型80 求多元函数的最值166

第9章 二重积分169

9.1 二重积分的性质和定理169

10.2 二重积分的计算170

9.3 二重积分172

题型81 更换二重积分的积分次序172

题型82 选择积分次序173

题型83 积分区域关于坐标轴对称的二重积分175

题型84 分段函数的二重积分177

题型85 被积函数f（x，y）中含有绝对值符号的二重积分179

题型86 被积函数f（x，y）中含有最值符号max或min的二重积分180

题型87 二重积分等式的证明181

题型88 二重积分不等式的证明182

第10章 函数方程与不等式证明184

10.1 函数方程184

题型89 利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求函数方程184

题型90 利用极限求函数方程184

题型91 已知函数在一点的导数及函数方程，求函数方程185

题型92 已知函数方程中含有变上限积分，求函数方程185

题型93 已知函数连续，且函数式中含函数的定积分、极限或二重积分，求函数方程188

题型94 已知函数方程中含有偏导数条件或曲线积分与路径无关，求函数方程189

10.2 不等式证明189

题型95 存在一个点ζ∈（a，b），使得不等式成立或不等式通过变形，一端可写成?或?的命题的证明189

题型96 在某一区间（a，b）不等式命题成立的证明190

题型97 文字不等式的证明192

题型98 函数f（x）二阶和二阶以上可导的不等式命题的证明193

题型99 杂例194

第2篇 线性代数题型196

第11章 行列式196

11.1 重要定理和性质196

11.2 重要结论196

题型100 与行列式的定义和性质相关的命题197

题型101 数值型行列式的计算198

题型102 行列式的余子式或代数余子式线性组合的计算203

题型103 计算抽象行列式205

第12章 矩阵208

12.1 矩阵的运算性质208

12.2 重要结论208

12.3 逆矩阵209

题型104 有关逆矩阵的计算问题209

题型105 矩阵可逆的证明212

12.4 矩阵的运算213

题型106 有关矩阵运算的命题213

题型107 求矩阵的行列式215

题型108 与伴随矩阵相关的命题217

12.5 初等矩阵218

题型109 有关初等变换和初等矩阵的命题218

第13章 向量221

13.1 重要结论221

13.2 内积和施密特正交化方法222

题型110 讨论向量组的线性相关性222

13.3 向量题型223

题型111 讨论向量组的线性相关性223

题型112 求向量组的极大线性无关组和秩227

题型113 有关向量组或矩阵的秩的计算与证明228

题型114 有关向量的线性表示的问题230

题型115 将向量组正交化234

第14章 线性方程组235

14.1 重要性质和定理235

14.2 有关线性方程组的题型236

题型116 有关线性方程组的基本概念题236

题型117 有关基础解系的命题238

题型118 线性方程组的求解239

题型119 矩阵方程的求解243

题型120 讨论两个线性方程组解之间的关系245

第15章 特征值与特征向量248

15.1 重要结论248

15.2 矩阵的特征值与特征向量249

题型121 求数值型矩阵的特征值与特征向量249

题型122 求抽象矩阵的特征值与特征向量251

题型123 特征值与特征向量的逆问题252

14.3 相似矩阵及其对角化254

题型124 相似矩阵的判定及其逆问题254

题型125 矩阵可对角化的判定及其逆问题255

题型126 有关实对称矩阵的命题256

第16章 二次型258

16.1 重要结论258

16.2 二次型题型258

题型127 二次型所对应的矩阵及其性质258

题型128 用正交变换法化二次型为标准型260

题型129 有关正定的判定264