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引言1

第1章 函数3

1.1 集合与函数3

1.1.1 集合3

1.1.2 函数的概念和基本性质4

习题1.111

1.2 部分微积分基础知识12

1.2.1 三角函数公式13

1.2.2 反三角函数14

1.2.3 极坐标16

1.2.4 复指数函数17

1.3 本章内容对开普勒问题的应用17

第2章 极限与连续19

2.1 数列的极限19

2.1.1 数列极限的定义19

2.1.2 收敛数列的性质23

习题2.124

2.2 函数的极限25

2.2.1 函数极限的定义25

2.2.2 函数极限的性质30

习题2.231

2.3 无穷小与无穷大32

2.3.1 无穷小32

2.3.2 无穷大33

习题2.334

2.4 极限运算法则35

2.4.1 无穷小运算法则35

2.4.2 极限运算法则36

习题2.438

2.5 极限存在准则 两个重要极限38

2.5.1 夹逼准则和重要极限lim x→0 sinx／x＝138

2.5.2 单调有界收敛准则和重要极限lim x→∞（1＋1／x）x＝e40

2.5.3 柯西收敛准则42

习题2.542

2.6 无穷小的比较43

习题2.645

2.7 函数的连续性与间断点45

2.7.1 函数的连续性45

2.7.2 函数的间断点47

习题2.749

2.8 连续函数的运算与初等函数的连续性49

2.8.1 连续函数的和、差、积、商的连续性49

2.8.2 连续函数的反函数的连续性50

2.8.3 连续函数的复合函数的连续性50

2.8.4 初等函数的连续性50

习题2.852

2.9 有界闭区间上连续函数的性质52

2.9.1 最大值最小值定理52

2.9.2 零点定理与介值定理53

习题2.954

第3章 导数与微分55

3.1 导数与微分的概念55

3.1.1 引例55

3.1.2 导数的定义57

3.1.3 微分的定义58

3.1.4 可微与可导的关系59

3.1.5 导数与微分的几何意义59

3.1.6 求导数与微分举例60

3.1.7 单侧导数62

3.1.8 函数可微性与连续性的关系63

习题3.163

3.2 微分和求导的法则64

3.2.1 函数的和、差、积、商的微分与求导法则64

3.2.2 反函数的微分与求导法则66

3.2.3 复合函数的微分与求导法则68

习题3.269

3.3 高阶导数71

3.3.1 定义71

3.3.2 例子72

3.3.3 运算法则73

习题3.374

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率74

3.4.1 隐函数的导数74

3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数79

3.4.3 相关变化率82

习题3.483

3.5 微分的简单应用85

3.5.1 近似计算85

3.5.2 估计误差87

3.6 本章内容对开普勒问题的应用89

第4章 定积分与不定积分93

4.1 定积分的概念和性质93

4.1.1 两个实例93

4.1.2 定积分的定义95

4.1.3 函数的可积性96

4.1.4 积分的几何意义96

4.1.5 定积分的近似计算97

4.1.6 定积分的基本性质100

习题4.1102

4.2 微积分基本公式103

4.2.1 启发103

4.2.2 积分上限的函数及其导数104

4.2.3 牛顿-莱布尼茨公式105

习题4.2107

4.3 不定积分的概念与性质109

4.3.1 不定积分的概念109

4.3.2 基本积分表111

4.3.3 不定积分的性质112

习题4.3113

4.4 换元积分法114

4.4.1 第一类换元法（凑微分法）114

4.4.2 第二类换元法119

习题4.4126

4.5 分部积分法129

习题4.5132

4.6 有理函数的积分133

4.6.1 有理函数的积分133

4.6.2 可化为有理函数的积分举例136

习题4.6138

4.7 反常积分139

4.7.1 无穷限的反常积分139

4.7.2 无界函数的反常积分141

习题4.7144

第5章 微分方程145

5.1 微分方程的基本概念145

习题5.1148

5.2 可分离变量的微分方程149

习题5.2155

5.3 齐次方程156

5.3.1 齐次方程156

5.3.2 可化为齐次的方程161

习题5.3163

5.4 一阶线性微分方程164

5.4.1 线性方程164

5.4.2 伯努利方程168

习题5.4170

5.5 可降阶的高阶微分方程172

5.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程172

5.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程174

5.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程176

习题5.5179

5.6 高阶线性微分方程180

5.6.1 二阶线性微分方程举例180

5.6.2 线性微分方程的解的结构182

5.6.3 常数变异法185

习题5.6188

5.7 常系数齐次线性微分方程189

习题5.7198

5.8 常系数非齐次线性微分方程199

5.8.1 f（x）＝eλxPm（x）型199

5.8.2 f（x）＝eλx［Pl（x） cosωx＋Pn （x） sinωx］型201

习题5.8205

5.9 欧拉方程206

习题5.9207

5.10 本章内容对开普勒问题的应用208

第6章 微分中值定理与导数的应用211

6.1 微分中值定理211

6.1.1 罗尔定理211

6.1.2 拉格朗日中值定理212

6.1.3 柯西中值定理213

习题6.1214

6.2 洛必达法则216

习题6.2219

6.3 泰勒公式220

6.3.1 皮亚诺型余项泰勒公式221

6.3.2 拉格朗日型余项泰勒公式223

习题6.3225

6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性226

6.4.1 函数单调性的判别法226

6.4.2 曲线的凹凸性与拐点229

习题6.4231

6.5 函数的极值与最大值最小值233

6.5.1 函数的极值及其求法233

6.5.2 最大值最小值问题235

习题6.5240

6.6 函数图形的描绘243

6.6.1 曲线的渐近线243

6.6.2 利用导数作函数的图形244

习题6.6246

6.7 曲率246

6.7.1 曲率的定义247

6.7.2 曲率的计算公式248

6.7.3 曲率圆与曲率半径251

习题6.7252

6.8 方程的近似解253

6.8.1 二分法253

6.8.2 切线法254

第7章 定积分的应用257

7.1 微元法的基本思想257

7.2 平面图形的面积259

7.2.1 直角坐标系下的面积公式259

7.2.2 边界曲线由参数方程表示时的面积公式261

7.2.3 极坐标系下的面积公式262

习题7.2263

7.3 体积264

7.3.1 已知平行截面面积，求立体的体积264

7.3.2 旋转体的体积266

7.3.3 柱壳法268

习题7.3269

7.4 平面曲线的弧长和旋转体的侧面积270

7.4.1 弧长的概念270

7.4.2 直角坐标情形271

7.4.3 参数方程情形272

7.4.4 极坐标情形273

7.4.5 旋转体的侧面积273

习题7.4276

7.5 功 水压力和引力278

7.5.1 变力沿直线所做的功278

7.5.2 静止液体对薄板的侧压力280

7.5.3 引力281

习题7.5284

7.6 本章内容对开普勒问题的应用285

习题答案287