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第一章 绪论1

1 数值分析的对象与特点1

2 误差来源与误差分析的重要性2

3 误差的基本概念5

3-1 误差与误差限5

3-2 相对误差与相对误差限6

3-3 有效数字7

3-4 数值运算的误差估计9

4 数值运算中误差分析的若干原则11

习题14

1 引言16

第二章 插值法16

2 拉格朗日插值18

2-1 插值多项式的存在唯一性18

2-2 线性插值与抛物插值19

2-3 拉格朗日插值多项式23

2-4 插值余项24

3 埃特金逐步插值与牛顿插值公式27

3-1 埃特金逐步插值27

3-2 均差与牛顿插值公式29

3-3 牛顿插值多项式余项31

4 差分与等距节点插值式33

4-1 差分及其性质33

4-3 等距节点插值公式36

5 埃尔米特插值39

6 分段线性插值43

7 分段三次埃尔米特插值46

8 三次样条插值48

8-1 三次样条函数48

8-2 三转角方程49

8-3 三弯矩方程53

8-4 计算步骤与例题54

8-5 三次样条插值的收敛性55

习题58

1-1 问题的提出61

1 引言与预备知识61

第三章 函数逼近与计算61

1-2 维尔斯特拉斯定理62

1-3 连续函数空间C(a, b)64

2 最佳一致逼近多项式65

2-1 最佳一致逼近多项式的存在性65

2-2 切比雪夫定理66

2-3 最佳一次逼近多项式69

2-4 里米兹算法71

3 切比雪夫多项式72

3-1 切比雪夫多项式的定义与性质72

3-2 拉格朗日插值余项的极小化75

3-3 幂级数项数的节约78

4 最佳平方逼近80

4-1 预备知识80

4-2 函数的最佳平方逼近83

4-3 用正交函数族作平方逼近86

5 正交多项式87

5-1 勒让德多项式87

5-2 用勒让德多项式作平方逼近91

5-3 其他常用的正交多项式92

6 函数按切比雪夫多项式展开94

7 曲线拟合的最小二乘法96

7-1 什么是最小二乘法96

7-2 用正交函数作最小二乘拟合102

8 离散富氏变换及其快速算法104

8-1 三角函数插值与离散富氏变换105

8-2 快速富氏变换(FFT)107

习题113

第四章 数值积分与数值微分117

1 引言117

1-1 数值求积的基本思想117

1-2 代数精度的概念119

1-3 插值型的求积公式119

2 牛顿-柯特斯公式121

2-1 柯特斯系统121

2-2 偶阶求积公式的代数精度123

2-3 几种低阶求积公式的余项124

2-4 复化求积法及其收敛性125

3 龙贝格算法129

3-1 梯形法的递推法129

3-2 龙贝格公式131

3-3 李查逊外推加速法133

3-4 梯形法的余项展开式135

4 高斯公式138

4-1 高斯点138

4-2 高斯-勒让德公式139

4-3 高斯公式的余项141

4-4 高斯公式的稳定性142

4-5 带权的高斯公式143

5 数值微分145

5-1 中点方法145

5-2 插值型的求导公式147

5-3 实用的五点公式150

5-4 样条求导151

习题153

第五章 常微分方程数值解法156

1 引言156

2 尤拉方法157

2-1 尤拉公式157

2-2 后退的尤拉公式159

2-3 梯形公式161

2-4 改进的尤拉公式163

2-5 尤拉两步公式164

3 龙格-库塔方法167

3-1 台劳级数法167

3-2 龙格-库塔方法的基本思想169

3-3 二阶龙格-库塔方法170

3-4 三阶龙格-库塔方法171

3-5 四阶龙格-库塔方法174

3-6 变步长的龙格-库塔方法176

4 单步法的收敛性和稳定性178

4-1 单步法的收敛性178

4-2 单步法的稳定性181

5 线性多步法184

5-1 基于数值积分的构造方法184

5-2 亚当姆斯显式公式185

5-3 亚当姆斯隐式公式187

5-4 亚当姆斯预测-校正系统188

5-5 基于台劳展开的构造方法190

5-6 米尔尼公式193

5-7 哈明公式194

6 方程组与高阶方程的情形195

6-1 一阶方程组195

6-2 化高阶方程为一阶方程组198

7 边值问题的数值解法199

7-1 试射法200

7-2 差分方程的建立201

6-1 矩阵的条件数202

7-3 差分问题的可解性203

7-4 差分方程的收敛性205

习题208

第六章 方程求根211

1 根的搜索211

1-1 逐步搜索法211

1-2 二分法212

1-3 比例求根法215

2-1 迭代过程的收敛性217

2 迭代法217

2-2 迭代公式的加工222

3 牛顿法225

3-1 牛顿公式225

3-2 牛顿法的几何解释226

3-3 牛顿法的局部收敛性227

3-4 牛顿法应用举例229

3-5 牛顿下山法231

4 弦截法与抛物线法233

4-1 弦截法234

4-2 抛物线法239

5-1 多项式求值的秦九韶算法241

5 代数方程求根241

5-2 代数方程的牛顿法243

5-3 劈因子法244

习题248

第七章 解线性方程组的直接方法251

1 引言251

2 高斯消去法252

2-1 高斯消去法252

2-2 矩阵的三角分解257

2-3 计算量259

3 高斯主元素消去法260

3-1 完全主元素消去法262

3-2 列主元素消去法265

3-3 高斯--约当消去法266

4 高斯消去法的变形270

4-1 直接三角分解法270

4-2 平方根法275

4-3 追赶法280

5 向量和矩阵的范数283

6 误差分析292

6-2 舍入误差297

习题301

1 引言306

第八章 解线性方程组的迭代法306

2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭法308

2-1 雅可比迭代法308

2-2 高斯-塞梅尔迭代法310

3 迭代法的收敛性312

4 解线性方程组的超松弛迭代法319

习题326

第九章 矩阵的特征值与特征向量计算330

1 引言330

2 幂法及反幂法333

2-1 幂法333

2-2 加速方法337

2-3 反幂法341

3 雅可比方法345

3-1 引言345

3-2 雅可比方法346

3-3 雅可比过关法353

4 豪斯荷不德方法354

4-1 初等反射阵及性质355

4-2 用正交相似变换约化矩阵358

5 对称三对角阵的特征值计算364

5-1 序列？(λ)？是一个斯斗姆序列365

5-2 求对称三对角矩阵特征值的二分法369

习题374

部分习题答案376