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第1章 马蒂厄方程1

1.1 正交曲线坐标系1

1.1.1 正交曲线坐标系的定义和坐标系之间的变换关系1

1.1.2 正交曲线坐标系中标量函数的梯度3

1.1.3 正交曲线坐标系中矢量函数的散度4

1.1.4 正交曲线坐标系中矢量函数的旋度5

1.2 马蒂厄方程6

1.2.1 椭圆柱坐标系6

1.2.2 角向马蒂厄方程与径向马蒂厄方程8

第2章 角向马蒂厄函数10

2.1 角向马蒂厄方程的解11

2.1.1 解的一般性质——基本解11

2.1.2 弗洛凯解13

2.1.3 角向马蒂厄方程的周期解16

2.2 整数阶角向马蒂厄函数18

2.2.1 q = 0时角向马蒂厄方程的解18

2.2.2 q＞0时角向马蒂厄方程的解——整数阶角向马蒂厄函数19

2.3 马蒂厄函数的数值计算23

2.3.1 概述23

2.3.2 角向马蒂厄函数傅里叶级数展开系数的递推关系25

2.3.3 角向马蒂厄方程的特征值的计算28

2.3.4 特征值am和bm的特征曲线43

2.4 角向整数阶马蒂厄函数的正交归一化关系47

2.5 角向马蒂厄函数图像49

2.6 角向马蒂厄函数数表61

2.7 角向马蒂厄方程的非周期解72

2.7.1 周期解与非周期解的关系72

2.7.2 非周期角向马蒂厄函数的定义73

2.7.3 非周期角向马蒂厄函数的归一化73

2.8 负参数角向马蒂厄函数79

2.8.1 负参数角向马蒂厄方程的周期解79

2.8.2 负参数非周期角向马蒂厄函数81

2.9 分数阶角向马蒂厄函数81

2.10 马蒂厄方程的稳定解与非稳定解84

第3章 径向马蒂厄函数86

3.1 径向马蒂厄函数的分类概述86

3.2 第一类径向马蒂厄函数87

3.2.1 函数Jem（ξ， q）和Jom （ξ， q）的形式87

3.2.2 非周期径向马蒂厄函数Fem （ξ， q）和Gem（ξ， q）94

3.2.3 函数Jem （ξ， q）和Jom （ξ， q）的导数95

3.2.4 函数Jem （ξ， q）和Jom （ξ， q）及其导数曲线96

3.2.5 第一类径向马蒂厄函数及其导数数表102

3.3 第二类径向马蒂厄函数111

3.3.1 函数Nem （ξ ， q）和 Nom （ξ， q）的形式111

3.3.2 函数Nem （ξ， q）和Nom （ξ， q）的导数115

3.3.3 函数Nem （ξ， q）和Nom（ξ，q）及其导数曲线116

3.3.4 第二类径向马蒂厄函数及其导数数表124

3.4 第一类变形贝塞尔型径向马蒂厄函数139

3.4.1 函数Iem （ξ，—q）和Iom （ξ，—q）的形式139

3.4.2 函数Iem （ξ， q）和Iom （ξ， q）的导数141

3.4.3 函数Iem （ξ， q）和Iom （ξ， q）曲线143

3.5 第二类变形贝塞尔型径向马蒂厄函数146

3.5.1 函数Kem （ξ，—q）和Kom （ξ，—q）的形式146

3.5.2 函数Kem （ξ， q）和Kom （ξ， q）的导数148

3.5.3 径向马蒂厄函数之间的恒等关系150

3.5.4 函数K em（ξ，q）和Kom （ξ， q）曲线150

3.6 马蒂厄—汉克尔函数154

3.7 用贝塞尔函数级数展开的角向马蒂厄函数155

3.8 马蒂厄函数的收敛性158

3.9 径向马蒂厄函数的渐近式161

3.9.1 贝塞尔函数型的径向马蒂厄函数的渐近式161

3.9.2 变形贝塞尔函数型的径向马蒂厄函数的渐近式163

第4章 马蒂厄函数的积分表示及其相互关系164

4.1 角向马蒂厄函数的核164

4.2 角向马蒂厄函数的贝塞尔函数级数展开166

4.3 角向马蒂厄函数的积分关系170

4.4 径向马蒂厄函数的积分关系171

4.4.1 贝塞尔型径向马蒂厄函数的积分关系171

4.4.2 变形贝塞尔型径向马蒂厄函数的积分关系173

4.5 用贝塞尔函数和三角函数表示的核175

4.6 用贝塞尔函数乘积展开的马蒂厄函数177

4.7 马蒂厄函数乘积的积分表示和级数展开181

4.8 用马蒂厄函数的级数展开其他函数184

第5章 马蒂厄函数的应用188

5.1 椭圆形薄膜振动188

5.2 四极杆质量分析器的基本原理192

5.2.1 四极杆质量分析器中马蒂厄方程的推导193

5.2.2 离子运动轨迹与稳定性图195

5.3 椭圆波导198

5.3.1 椭圆波导中的电磁场198

5.3.2 椭圆波导中的本征模200

5.3.3 椭圆波导的截止波长和截止频率205

5.4 椭圆谐振腔209

5.4.1 椭圆谐振腔中的电磁场209

5.4.2 椭圆谐振腔中TMe010模和TEe111模的工作特性212

5.5 椭圆形理想导体柱面对平面电磁波的散射217

参考文献223

附录A马蒂厄函数符号对照表229

附录B贝塞尔函数230

附录C马蒂厄方程的特征值239

附录D角向马蒂厄函数的高阶级数展开246