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绪论1

0.1 齐次方程与指数矩阵的算法5

0.2 非齐次方程7

0.3 精度分析9

0.4 关于时变系统与非线性系统的讨论10

第一章 分析力学初步12

1.1 完整约束与非完整约束12

1.2 广义位移，虚位移与自由度16

1.3 虚位移原理、达朗贝尔原理18

1.4 拉格朗日方程20

1.5 哈密顿原理，变分原理22

1.6 哈密顿型正则方程27

1.6.1 勒让德变换与哈密顿方程27

1.6.2 循环坐标与守恒性32

1.7 正则变换33

1.8 正则变换的辛描述37

1.9 泊松括号39

1.10 作用量42

1.11 哈密顿-雅可比方程44

1.11.1 简谐振子45

1.11.2 时不变系统47

1.11.3 分离变量48

1.11.4 线性体系和分离变量49

第二章 振动理论55

2.1 单自由度体系的振动55

2.1.1 线性振动56

2.1.2 参数共振58

2.1.3 非线性振动初步62

2.2 多个自由度系统的振动74

2.2.1 无阻尼自由振动、本征解75

2.2.2 约束，本征值计数79

2.2.3 子结构拼装时的本征值计数84

2.2.4 对称阵本征解的子空间迭代法92

2.2.5 不对称实矩阵的本征问题95

2.2.6 矩阵的奇异值分解99

2.3 陀螺系统的微振动101

2.3.1 分离变量法，本征问题103

2.3.2 正定哈密顿函数的情形106

2.3.3 哈密顿函数不正定的本征问题113

2.4 多自由度系统的非线性振动133

2.4.1 二自由度系统的非线性内部参数共振139

2.4.2 非线性内部次谐共振144

2.5 陀螺系统振动稳定性的讨论148

2.5.1 正定哈密顿函数时系统稳定148

2.5.2 哈密顿函数不正定的情况151

3.1 概率论初步158

第三章 概率论与随机过程初步158

3.1.1 概率分布函数与概率密度函数159

3.1.2 数学期望、方差和协方差160

3.1.3 随机向量的期望向量和协方差阵162

3.1.4 随机向量的条件期望与条件协方差163

3.1.5 随机变量的特征函数164

3.1.6 正态分布165

3.1.7 高斯随机向量的线性变换与线性组合168

3.1.8 最小二乘法169

3.2 随机过程概述173

3.2.1 平稳和非平稳随机过程175

3.2.2 平稳过程的遍历性（各态历经）176

3.3 二阶矩随机过程(正规随机过程)177

3.3.1 正规随机过程的连续与可微性质179

3.3.2 随机均方积分180

3.4 高斯正态随机过程181

3.5 马尔可夫随机过程182

3.6 平稳随机过程的谱密度183

3.6.1 维纳——辛钦关系183

3.6.2 平稳随机过程X（t）的谱分解184

3.6.3 白噪声过程185

3.6.4 维纳过程187

第四章 结构的随机振动190

4.1 随机激励的模型192

4.1.1 平稳随机激励193

4.1.2 非平稳随机激励195

4.2 结构的平稳随机响应196

4.2.1 单自由度线性系统的随机响应分析197

4.2.2 多自由度线性体系的单源激励平稳响应200

4.2.3 多源激励复杂结构的平稳随机响应210

4.3 结构的非平稳随机响应212

4.3.1 均匀调制非平稳随机激励下的响应212

4.3.2 演变型调制非平稳随机激励下的响应213

5.1 计及剪切变形梁的基本方程215

第五章 单连续坐标弹性体系的求解215

5.2 势能与混合能密度217

5.3 分离变量，本征问题，共轭辛正交归一221

5.3.1 共轭辛正交归一关系222

5.3.2 展开定理224

5.4 本征值多重根与若尔当型225

5.4.1 铁木辛柯梁理论伯波传播分析及其推广227

5.4.2 共轭辛正交的物理解释——功的互等231

5.5 非齐次方程的展开求解235

5.6 两端边界条件236

5.7 区段变形能、精细积分法241

5.7.1 位移法241

5.7.2 混合能、对偶变量244

5.7.3 黎卡提微分方程式及其精细积分247

5.7.4 幂级数展开249

5.7.5 区段合并消元250

5.7.6 基本区段的精细积分算法253

5.8 本征解与区段混合能，黎卡提方程的分析解258

5.8.1 哈密顿矩阵本征问题的算法261

5.8.2 化归实型的计算265

5.9 子结构拼装的逐步积分算法272

5.10 功率流277

5.10.1 黎卡提代数方程278

5.10.2 传输波280

5.10.3 功率正交性282

5.11 波的散射283

5.12 波激共振286

第六章 线性控制系统的理论与计算289

6.1 线性系统的状态空间290

6.1.1 系统的输入—输出描述与状态空间描述290

6.1.2 单输入-单输出系统化成状态空间系统296

6.1.3 线性时不变系统的积分298

6.1.4 频域分析301

6.1.5 线性系统的可控性与可观测性302

6.1.6 线性变换305

6.1.7 对偶原理307

6.1.8 离散时间控制308

6.2 稳定性理论309

6.2.1 李雅普诺夫意义下的运动稳定性310

6.2.2 李雅普诺夫稳定性分析312

6.3 最优估计理论的三类问题314

6.4 预测及其精细积分317

6.4.1 预测问题的数学模型318

6.4.2 一个自由度系统的预测319

6.4.3 多个自由度系统的预测322

6.4.4 时程精细积分323

6.4.5 李雅普诺夫方程的精细积分328

6.4.6 有色噪音的干扰338

6.5 卡尔曼滤波340

6.5.1 线性估计问题的提法341

6.5.2 离散时间线性系统的卡尔曼滤波343

6.5.3 连续时间线性系统的卡尔曼滤波350

6.5.4 区段混合能358

6.5.5 黎卡提微分方程的精细积分367

6.5.6 黎卡提微分方程的分析解372

6.5.7 单步长滤波方程的求解374

6.5.8 滤波方程的全程积分392

6.6 最优平滑399

6.6.1 连续时间线性系统的最优平滑400

6.6.2 区段混合能法及平滑解的微分方程403

6.6.3 区段混合能回代求解——平滑均值及其均方差阵的算式407

6.6.4 三种平滑的算法412

6.7 最优控制415

6.7.1 未来时段线性二次控制的理论推导416

6.7.2 稳定性分析419

6.7.3 LQ控制的计算429

6.7.4 量测反馈最优控制433

6.8 鲁棒控制434

6.8.1 鲁棒全状态反馈控制（H∞状态反馈控制）438

6.8.2 H∞滤波451

6.8.3 整个时段量测反馈控制的综合变分原理464

第七章 弹性力学求解的对偶体系472

7.1 弹性力学基本方程473

7.1.1 应力与平衡方程473

7.1.2 应变与应变协调方程475

7.1.3 线弹性本构关系475

7.2 弹性力学变分原理479

7.2.1 最小总势能原理480

7.2.2 二类变量的变分原理与最小总余能原理481

7.2.3 三类变量的变分原理483

7.2.4 互等原理484

7.3.1 基本方程485

7.3 弹性力学矩形域平面问题485

7.3.2 导向对偶体系487

7.3.3 分离变量、横向征解490

7.3.4 展开定理493

7.4 本征解494

7.4.1 零本征值的解，圣维南解494

7.4.2 非零本征值的解500

7.5 弹性平面矩形域问题的解507

7.6 弹性薄板弯曲问题512

7.7 平面弹性与薄板弯曲问题的相似性518

7.8 矩形板的辛求解体系525

7.8.1 对边简支板的辛求解530

7.8.2 对边自由板的辛求解534

7.9 薄板弯曲与平面弹性问题的多类变量变分原理541

7.9.1 薄板弯曲的H-R变分原理及类H-R变分原理542

7.9.2 平面弹性的H-R变分原理及类H-R变分原理542

7.9.3 薄板弯曲的H-W变分原理及类H-W变分原理543

7.9.4 平面弹性的H-W变分原理及类H-W变分原理543

7.9.5 薄板弯曲多类变量变分原理544

7.9.6 平面弹性多类变量变分原理551

结束语555

参考文献556

附录稠密有限元网格与混合变量方法564