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第1章 数学建模和基本原理介绍1

1.1 数学模型的建立1

1.1.1 弦振动方程和定解条件1

1.1.2 热传导方程和定解条件4

1.1.3 泊松方程和定解条件8

1.2 定解问题的适定性8

1.2.1 一些基本概念8

1.2.2 适定性概念10

1.3 叠加原理11

1.3.1 叠加原理11

1.3.2 叠加原理的应用14

1.4 齐次化原理16

1.4.1 由含参变量积分或无穷级数表示的变换16

1.4.2 常微分方程中的齐次化原理19

1.4.3 偏微分方程中的齐次化原理23

1.5 二阶线性方程分类和化简24

1.5.1 二阶偏微分方程的分类24

1.5.2 两个自变量二阶偏微分方程的化简26

习题129

第2章 分离变量法34

2.1 特征值问题34

2.1.1 矩阵特征值问题34

2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题35

2.2 分离变量法38

2.2.1 弦振动方程定解问题38

2.2.2 热传导方程定解问题43

2.2.3 平面上位势方程边值问题45

习题249

第3章 贝塞尔函数53

3.1 二阶线性常微分方程的幂级数解法53

3.1.1 常系数线性方程的基解组53

3.1.2 变系数线性方程的幂级数解法54

3.2 贝塞尔函数57

3.2.1 Γ函数57

3.2.2 贝塞尔方程和贝塞尔函数59

3.2.3 贝塞尔函数的性质61

3.2.4 贝塞尔方程的特征值问题63

3.2.5 圆域上拉普拉斯算子的特征值问题67

3.2.6 一些例子67

3.3 多个自变量分离变量法举例70

3.3.1 矩形域上定解问题70

3.3.2 圆柱体或圆域上定解问题72

习题376

第4章 积分变换法79

4.1 热传导方程柯西问题79

4.1.1 一维热传导方程柯西问题79

4.1.2 二维热传导方程柯西问题82

4.2 波动方程柯西问题83

4.2.1 一维波动方程柯西问题83

4.2.2 二维和三维波动方程柯西问题85

4.2.3 解的物理意义88

4.3 积分变换法举例89

习题492

第5章 格林函数法95

5.1 格林公式95

5.2 拉普拉斯方程基本解和格林函数97

5.2.1 基本解97

5.2.2 格林函数98

5.3 半空间及圆域上的狄利克雷问题99

5.3.1 半空间上狄利克雷问题99

5.3.2 圆域上狄利克雷问题100

5.4 一维热传导方程和波动方程半无界问题101

5.4.1 一维热传导方程半无界问题101

5.4.2 一维波动方程半无界问题102

习题5103

第6章 特征线法107

6.1 一阶偏微分方程特征线法107

6.1.1 特征线法107

6.1.2 特征线法的应用举例111

6.1.2.1 交通流问题111

6.1.2.2 人口发展方程113

6.2 一维波动方程的特征线法115

习题6118

第7章 勒让德多项式120

7.1 勒让德多项式120

7.1.1 勒让德方程及勒让德多项式120

7.1.2 勒让德多项式的生成函数和递推公式122

7.1.3 勒让德多项式的微分表示形式124

7.1.4 勒让德方程特征值问题126

7.2 球面调和函数和球形贝塞尔函数127

7.2.1 拉普拉斯算子的其他表示形式127

7.2.2 球面调和函数（与θ无关）128

7.2.3 球面调和函数（与θ有关）132

7.2.4 球形贝塞尔函数134

习题7136

附录1 测验题138

附录2 部分习题答案，提示或解答140

附录3 参考文献170