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第1章 函数、极限、连续1

1.1 函数及其性质1

1.1.1 求复合函数的表达式1

1.1.2 求反函数的表达式2

1.1.3 判别函数的有界性2

1.1.4 判别函数的奇偶性5

1.1.5 奇偶函数常用性质的应用6

1.1.6 判别函数的单调性8

1.1.7 判别函数的周期性8

1.2 极限的求法9

1.2.1 数列的极限9

1.2.2 用等价无穷小代换求极限13

1.2.3 用泰勒公式求极限15

1.2.4 简化计算“1∞”型幂指函数的极限16

1.2.5 求子函数形式特殊的函数极限18

1.2.6 比较或确定无穷小的阶21

1.2.7 由极限值确定待定常数23

1.2.8 已知函数极限值，求与此极限有关的另一函数极限27

1.3 函数的连续性28

1.3.1 讨论函数的连续性28

1.3.2 讨论用极限形式给出的函数的连续性、可导性31

1.3.3 求间断点及其类型32

1.3.4 利用连续性确定待定常数33

1.3.5 讨论方程的实根34

习题136

第2章 一元函数微分学39

2.1 判别函数在某点的可导性39

2.1.1 用导数定义判别函数在某点的可导性39

2.1.2 利用特殊的分式极限式判别函数在某点可导40

2.1.3 判别含绝对值的函数在某点的可导性41

2.1.4 判别一类特殊的分段函数在分段点的可导性43

2.1.5 利用导数定义求分式函数的极限44

2.1.6 利用导数定义或导数存在的充要条件求函数的待定常数45

2.2 计算导数46

2.2.1 计算复合函数的导数46

2.2.2 分段函数在分段点处的导数的求法47

2.2.3 求反函数的导数48

2.2.4 求隐函数的导数49

2.2.5 求由参数方程？所确定的函数y=y（x）的导数50

2.3　计算高阶导数与微分51

2.3.1　计算高阶导数51

2.3.2 数微分的概念及其计算53

2.4　微分中值定理的综合应用55

2.4.1 利用微分中值定理的条件与结论求解客观题55

2.4.2 求解与函数差值有关的问题56

2.4.3 讨论导函数的变化趋势与函数的变化趋势的关系57

2.5　讨论函数的性态58

2.5.1　讨论函数的单调性并求其单调区间58

2.5.2 判别某点是否为函数的极值点60

2.5.3　讨论曲线的凹凸性并求其凹凸区间与拐点62

2.5.4　求函数的极值和最值65

2.5.5　求曲线的渐近线67

2.6　一元函数微分学的几何应用69

2.6.1 求过曲线上一已知点的切（法）线方程69

2.6.2　过不在曲线上的已知点，求该曲线的切（法）线方程71

2.6.3 求解与两曲线相切的有关问题71

2.6.4 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题72

2.6.5 计算曲率、曲率半径与曲率圆72

习题273

第3章　一元函数积分学77

3.1　原函数与不定积分77

3.1.1　原函数与不定积分的概念、性质及其相互关系77

3.1.2　求分段函数的积分79

3.2　计算不定积分81

3.2.1 用凑微分法（第一类换元积分法）计算不定积分81

3.2.2 用第二类换元积分法计算积分82

3.2.3 用分部积分法计算不定积分84

3.2.4 用分项积分法计算不定积分84

3.3　利用定积分定义求积和式的极限85

3.3.1 求有一因式或能化为一因式为1/n的积和式的数列极限85

3.3.2 求需将其放缩后能用定积分定义求和的积和式的极限86

3.4　利用定积分的性质计算定积分87

3.4.1 利用定积分的几何意义计算定积分87

3.4.2 计算对称区间上的定积分89

3.4.3 计算周期函数的定积分89

3.4.4　利用定积分的常用计算公式求定积分90

3.4.5 已知被积函数的导数或被积函数含抽象函数的导数，求其积分92

3.4.6　求解含积分值为常数的函数方程93

3.5　用换元法计算定积分94

3.5.1 计算需改变被积函数的定积分94

3.5.2　计算需同时改变积分限和被积函数的定积分95

3.6　计算几类需分子区间积分的定积分96

3.6.1　计算分段函数的定积分96

3.6.2 求被积函数含绝对值的定积分96

3.6.3 求被积函数含最值符号max或min的定积分97

3.6.4　计算被积函数含偶次算术方根的定积分97

3.7　比较定积分的大小98

3.8　求解与变限积分有关的问题101

3.8.1 讨论变限积分函数的性态101

3.8.2 求变限积分的导数102

3.8.3　求含变限积分的极限103

3.8.4　求解含有变限积分等式的有关问题104

3.9　反常积分105

3.9.1 判别反常积分的敛散性105

3.9.2　计算反常积分106

3.10　定积分的应用109

3.10.1 已知曲线，求其所围平面图形的面积109

3.10.2　求旋转体体积110

3.10.3　求旋转体的侧面积（表面积）112

3.10.4 求平面曲线的弧长112

3.10.5 求解平面图形面积、旋转体体积与极值、最值相结合的问题113

3.10.6 求函数在区间上的平均值114

3.10.7 定积分在物理学中的简单应用114

习题3115

第4章　向量代数与空间解析几何118

4.1　利用向量的定义和性质求解有关问题118

4.2　计算向量的数量积、向量积与混合积119

4.3　求平面方程121

4.4　求直线方程123

4.5　求点到直线或到平面的距离124

4.6　讨论直线、平面之间的位置关系125

4.7　建立曲面方程128

习题4129

第5章　多元函数微分学及其应用132

5.1 二元函数的几个概念及其相互关系132

5.1.1 二元函数的极限、连续、可偏导及可微的相互关系132

5.1.2 求解x（或y）的一元函数f（x,y0）（或f(x0,y)）的有关问题134

5.2　计算多元函数的偏导数和全微分135

5.2.1 利用隐函数存在定理确定隐函数135

5.2.2 计算多元显函数的偏导数136

5.2.3　计算抽象复合函数的偏导数137

5.2.4　求隐函数的偏导数138

5.2.5 简化计算偏导数的若干方法141

5.2.6 多元函数的全微分143

5.3　求二元函数的极值和最值145

5.3.1 求解无条件极值问题145

5.3.2　求解条件极值问题146

5.3.3 求函数z=f（x,y）在有界闭区域上的最值147

5.4　二元函数微分学在几何上的应用148

5.5　求函数的方向导数和梯度152

习题5155

第6章　重积分157

6.1　交换二重积分的积分次序或转换其坐标系157

6.1.1 交换二（累）次积分的积分次序157

6.1.2　转换坐标系158

6.2　计算二重积分161

6.2.1　计算累次（二次）积分∫？（∫？f(x,y)dy）dx或∫？（∫？f(x,y)dx）dy161

6.2.2　利用积分区域的对称性简化二重积分的计算161

6.2.3 求需分块计算的二重积分164

6.2.4 比较二重积分值的大小165

6.3　三重积分的计算方法166

习题6170

第7章 曲线积分和曲面积分172

7.1　计算第一类曲线积分172

7.2　计算第二类平面曲线积分174

7.3　求解曲线积分与路径无关的有关问题178

7.4　第一类曲面积分的算法180

7.5　第二类曲面积分的算法183

7.6　利用积分曲面的对称性计算第二类曲面积分186

7.7　曲线积分、曲面积分的应用187

7.8　计算向量场的散度与旋度191

习题7192

第8章　无穷级数194

8.1　常数项级数敛散性的判别194

8.1.1　利用常数项级数敛散性定义及其性质判别其敛散性194

8.1.2　判别正项级数的敛散性196

8.1.3　判别交错级数的敛散性200

8.1.4 判别任意项级数的敛散性202

8.2　幂级数205

8.2.1 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域205

8.2.2 已知一幂级数的收敛半径（收敛域），求与此幂级数有关的另一幂级数的收敛半径（收敛域）206

8.2.3 已知两幂级数的收敛半径，求其和级数的收敛半径209

8.2.4 利用阿贝尔定理确定幂级数的敛散性210

8.2.5 幂级数和函数的求法212

8.2.6 求函数的幂级数展开式216

8.3　傅里叶级数217

8.3.1 求傅里叶级数在某一点处的收敛和218

8.3.2　求傅里叶级数的系数219

习题8220

第9章　常微分方程223

9.1　求解一阶线性微分方程223

9.1.1 求解可分离变量方程223

9.1.2　求解齐次微分方程223

9.1.3　求解一阶线性微分方程224

9.1.4 求解可化为上述基本类型的一阶线性微分方程227

9.2　求解可降阶的高阶微分方程229

9.2.1 求解形如y(n)=f（x）的高阶微分方程229

9.2.2 求解形如y″=f（x,y′）的微分方程229

9.2.3　求解形如y″=f（y,y′）的微分方程230

9.3　求解二阶微分方程231

9.3.1 利用二阶线性微分方程解的性质和结构求解有关问题231

9.3.2 求解高阶常系数齐次线性方程232

9.3.3 确定高阶常系数非齐次线性方程的特解形式233

9.3.4 求解二阶常系数非齐次线性微分方程234

9.3.5 已知常系数线性微分方程的解，反求该微分方程236

9.4　欧拉方程的解法238

习题9239

习题答案或提示241