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第1章 误差分析1

1.1 引言：数值分析和算法1

1.1.1 算法1

1.1.2 算法的特点2

1.1.3 算法的计算量分析2

1.1.4 算法的要素和解决对象3

1.2 误差分析3

1.2.1 误差来源3

1.2.2 误差与有效数字4

1.2.3 误差的传播7

1.3 数值稳定性与误差病态防治10

1.3.1 病态问题与条件数10

1.3.2 数值稳定性12

1.3.3 误差病害的防治14

第2章 插值与拟合21

2.1 引言：插值法21

2.1.1 函数逼近21

2.1.2 描点法与插值法22

2.1.3 插值多项式的存在唯一定理23

2.2 拉格朗日插值26

2.2.1 线性插值与抛物插值26

2.2.2 拉格朗日插值31

2.2.3 插值余项和误差估计32

2.2.4 例题选讲34

2.3 牛顿插值37

2.3.1 均差及其性质37

2.3.2 牛顿插值多项式38

2.3.3 例题选讲40

2.4 厄米特插值42

2.4.1 密切插值42

2.4.2 厄米特插值43

2.4.3 三次厄米特插值多项式47

2.4.4 例题选讲48

2.5 分段低次插值53

2.5.1 龙格现象53

2.5.2 分段线性插值56

2.5.3 分段三次厄米特插值58

2.5.4 例题选讲60

2.6 三次样条插值62

2.6.1 三次样条函数62

2.6.2 三次样条插值函数的建立64

2.6.3 三次样条插值函数的误差估计74

2.6.4 例题选讲74

2.7 曲线拟合的最小二乘法81

2.7.1 曲线的最小二乘直线拟合81

2.7.2 曲线拟合的一般问题90

第3章 数值微分与数值积分98

3.1 引言：数值积分98

3.1.1 数值积分问题的背景98

3.1.2 机械求积公式98

3.1.3 代数精度103

3.1.4 插值型机械求积公式104

3.1.5 求积公式的稳定性与收敛性106

3.1.6 例题选讲107

3.2 辛普生公式和柯提斯公式111

3.2.1 辛普生公式和柯提斯公式111

3.2.2 偶数阶求积公式的代数精度115

3.2.3 低阶柯提斯公式余项估计116

3.2.4 例题选讲118

3.3 复化求积公式121

3.3.1 复化梯形公式121

3.3.2 复化辛普生公式122

3.3.3 例题选讲124

3.4 龙伯格求积公式133

3.4.1 二分变步长梯形公式133

3.4.2 龙伯格公式135

3.4.3 理查森外推加速算法和龙伯格算法138

3.4.4 例题选讲141

3.5 高斯求积公式143

3.5.1 高斯求积公式的一般理论143

3.5.2 高斯—勒让德求积公式147

3.6 数值微分154

3.6.1 差分公式154

3.6.2 插值型数值微分公式161

3.6.3 数值微分的外推法168

3.6.4 数值微分的代数精度175

第4章 非线性方程求根178

4.1 搜索法与二分法178

4.1.1 零点法与搜索法178

4.1.2 二分法180

4.2 迭代法及其收敛性182

4.2.1 不动点迭代法基本原理182

4.2.2 局部收敛性与收敛阶185

4.2.3 例题选讲187

4.3 埃特金加速算法和斯蒂芬森迭代法192

4.3.1 埃特金加速加速算法192

4.3.2 斯蒂芬森迭代法193

4.3.3 例题选讲196

4.4 牛顿法197

4.4.1 牛顿迭代法基本原理197

4.4.2 平等弦法与牛顿下山法200

4.4.3 例题选讲202

4.5 弦截法和抛物线法208

4.5.1 弦截法208

4.5.2 抛物线法209

4.5.3 例题选讲211

4.6 非线性方程组的牛顿法213

4.6.1 非线性方程组的牛顿法213

4.6.2 例题选讲215

第5章 解线性方程组的直接方法220

5.1 高斯消去法220

5.1.1 高斯消去法的源流和背景220

5.1.2 基本概念223

5.1.3 LU三角分解225

5.1.4 高斯消去法的算法体系232

5.1.5 高斯消去算法236

5.1.6 例题选讲237

5.2 高斯主元素消去法和高斯—若当消去法238

5.2.1 高斯列主元素消去法238

5.2.2 高斯列主元素消去法的算法体系241

5.2.3 高斯—若当消去法247

5.3 矩阵三角分解法251

5.3.1 矩阵的LU直接三角分解法（杜利特尔分解与克需分解）252

5.3.2 对称正定矩阵的乔来斯基平方根分解法257

5.3.3 三对角矩阵的追赶法265

5.4 向量和矩阵的范数274

5.4.1 向量范数275

5.4.2 矩阵范数282

5.5 条件数与误差分析291

5.5.1 条件数291

5.5.2 例题选讲296

第6章 线性方程组的迭代法300

6.1 线性方程组的古典迭代法300

6.2 迭代法的收敛性311

6.3 迭代法例题选讲318

第7章 矩阵特征值计算325

7.1 幂法与反幂法325

7.1.1 幂法325

7.1.2 幂法的加速332

7.1.3 反幂法341

7.2 豪斯霍尔德反射与吉文斯旋转350

7.2.1 豪斯霍尔德初等反射阵350

7.2.2 豪斯霍尔德正交相似约化354

7.2.3 吉文斯旋转368

7.3 矩阵特征值的QR算法371

7.3.1 QR正交三角分解算法372

7.3.2 QR算法的原点位移加速376

第8章 常微分方程初值问题的数值方法386

8.1 欧拉单步方法386

8.1.1 欧拉单步方法基本概念386

8.1.2 局部截断误差与阶392

8.1.3 例题选讲394

8.2 龙格-库塔方法399

8.2.1 显式龙格-库塔方法399

8.2.2 高阶和隐式龙格-库塔方法406

8.2.3 变步长龙格-库塔方法407

8.2.4 例题选讲408

8.3 单步法的收敛性与稳定性413

8.3.1 收敛性与相容性413

8.3.2 绝对稳定性与绝对稳定域415

8.3.3 例题选讲417

8.4 线性多步法419

8.4.1 线性多步法419

8.4.2 阿当姆斯线性多步法423

8.4.3 米尔尼、辛普生与哈明公式432

8.4.4 预测—校正方法438

8.4.5 线性多步法的设计439

参考文献444