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第6章 多元函数微分学及其应用1

6.1 多元函数的基本概念1

6.1.1 区域1

6.1.2 多元函数的概念2

6.1.3 多元函数的极限3

6.1.4 多元函数的连续性5

习题6.16

6.2 偏导数7

6.2.1 偏导数的概念7

6.2.2 求偏导数举例7

6.2.3 偏导数的几何意义9

6.2.4 函数的偏导数与函数连续的关系9

6.2.5 高阶偏导数10

习题6.211

6.3 全微分12

6.3.1 全微分的定义12

6.3.2 可微的必要条件12

6.3.3 可微的充分条件14

6.3.4 利用全微分作近似计算16

习题6.316

6.4 多元复合函数的求导法则16

6.4.1 多元复合函数求导的链式法则16

6.4.2 一阶全微分形式不变性19

习题6.420

6.5 隐函数的偏导数21

6.5.1 由一个方程所确定的隐函数的偏导数21

6.5.2 由方程组所确定的隐函数的偏导数22

习题6.524

6.6 方向导数与梯度25

6.6.1 方向导数的定义25

6.6.2 方向导数的计算26

6.6.3 梯度27

习题6.629

6.7 多元函数的极值29

6.7.1 无条件极值29

6.7.2 最值31

6.7.3 条件极值 拉格朗日乘数法33

习题6.735

6.8 多元函数微分学应用模型举例36

6.8.1 交叉弹性36

6.8.2 最优价格模型38

习题6.840

复习题640

第7章 重积分数学模型及其应用43

7.1 二重积分43

7.1.1 二重积分模型43

7.1.2 二重积分的性质46

习题7.147

7.2 二重积分的计算47

7.2.1 在直角坐标系下计算二重积分47

7.2.2 在极坐标系下计算二重积分53

习题7.257

7.3 三重积分59

7.3.1 三重积分的定义59

7.3.2 三重积分的计算59

习题7.367

7.4 重积分模型应用举例68

7.4.1 几何应用69

7.4.2 物理应用72

7.4.3 重积分在生活中的应用77

习题7.477

复习题778

第8章 曲线积分、曲面积分及其应用81

8.1 第一型曲线积分81

8.1.1 金属曲线的质量81

8.1.2 第一型曲线积分的定义81

8.1.3 第一型曲线积分的计算83

习题8.185

8.2 第二型曲线积分85

8.2.1 变力沿曲线所做的功85

8.2.2 第二型曲线积分的定义86

8.2.3 第二型曲线积分的计算87

8.2.4 两类曲线积分之间的关系89

习题8.290

8.3 格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件90

8.3.1 单连通区域与复连通区域91

8.3.2 格林公式91

8.3.3 平面曲线积分与路径无关的充要条件95

8.3.4 全微分方程98

习题8.399

8.4 第一型曲面积分100

8.4.1 空间曲面的质量100

8.4.2 第一型曲面积分的定义100

8.4.3 第一型曲面积分的计算101

习题8.4103

8.5 第二型曲面积分104

8.5.1 流量问题104

8.5.2 第二型曲面积分的定义106

8.5.3 第二型曲面积分的计算107

8.5.4 两类曲面积分之间的联系108

习题8.5110

8.6 高斯公式、斯托克斯公式110

8.6.1 高斯公式110

8.6.2 斯托克斯公式113

习题8.6116

8.7 线面积分应用模型实例117

8.7.1 通量与散度117

8.7.2 环量与旋度118

习题8.7120

复习题8121

第9章 常微分方程及其应用123

9.1 微分方程的基本概念123

9.1.1 案例引入123

9.1.2 微分方程的概念125

9.1.3 微分方程的解125

习题9.1127

9.2 一阶微分方程128

9.2.1 可分离变量的微分方程 齐次方程128

9.2.2 一阶线性微分方程 伯努利方程133

9.2.3 利用变量代换求解一阶微分方程138

习题9.2139

9.3 可降阶的高阶微分方程140

9.3.1 y（n）=f（x）型140

9.3.2 y"=f（x，y'）型142

9.3.3 y"=f（y，y'）型144

习题9.3146

9.4 二阶常系数齐次线性微分方程146

9.4.1 二阶齐次线性微分方程解的性质和结构147

9.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法148

习题9.4153

9.5 二阶常系数非齐次线性微分方程153

9.5.1 二阶非齐次线性微分方程解的性质和结构154

9.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法154

习题9.5160

9.6 常微分方程模型应用举例161

9.6.1 死亡时间判定模型161

9.6.2 人口增长模型162

9.6.3 放射性废料的处理模型164

9.6.4 鱼雷击舰问题165

习题9.6166

复习题9167

第10章 无穷级数及其应用169

10.1 常数项级数的概念与性质169

10.1.1 常数项级数的概念169

10.1.2 常数项级数的性质173

10.1.3 级数收敛的必要条件176

习题10.1177

10.2 正项级数判敛178

10.2.1 正项级数收敛的充要条件178

10.2.2 比较判别法179

10.2.3 比值判别法182

10.2.4 根值判别法186

习题10.2187

10.3 变号级数判敛188

10.3.1 交错级数188

10.3.2 绝对收敛与条件收敛190

10.3.3 绝对收敛级数的两个性质193

习题10.3194

10.4 幂级数195

10.4.1 函数项级数的一般概念195

10.4.2 幂级数及其收敛区间196

10.4.3 幂级数的运算性质和函数201

习题10.4207

10.5 函数展开成幂级数207

10.5.1 泰勒级数208

10.5.2 函数展开成幂级数210

习题10.5217

10.6 傅里叶级数217

10.6.1 三角级数和三角函数系的正交性217

10.6.2 傅里叶级数219

10.6.3 函数展开成傅里叶级数221

10.6.4 正弦级数和余弦级数224

10.6.5 周期延拓226

10.6.6 奇延拓与偶延拓228

10.6.7 以2l为周期的函数的傅里叶级数230

习题10.6231

10.7 无穷级数模型应用举例232

习题10.7238

复习题10238

部分习题参考答案242

参考文献266