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第一章 绪论1

1.1 旋量代数与李代数2

1.2 有限位移旋量与李群4

1.3 螺旋位移理论和有限位移旋量的近代发展史5

1.4 有限位移旋量与李群的关联7

1.5 旋量系及其关联关系理论7

1.6 机构学与机器人学的几何与代数9

1.7 机构与机器人的约束与柔度11

1.8 本书概述13

参考文献15

第一篇 几何基础、旋量代数与李群、李代数27

第二章 直线几何27

2.1 点、向量和直线的坐标27

2.1.1 位置向量和姿态向量27

2.1.2 线矢量28

2.1.3 Klein型与Klein二次曲面29

2.2 直线的向量方程30

2.3 射影几何与齐次坐标31

2.4 平面方程与平面坐标33

2.4.1 平面向量方程与平面坐标表示33

2.4.2 三点确定的平面坐标34

2.5 两点确定的直线方程及其射线形式的Plücker坐标35

2.6 两平面交线确定的直线方程及其轴线形式的Plücker坐标38

2.7 射线坐标与轴线坐标的固有属性与对偶性38

2.7.1 直线坐标的参数关系39

2.7.2 直线表示形式的对偶性39

2.7.3 射线坐标与轴线坐标对偶定理40

2.7.4 射线坐标与轴线坐标对偶关系42

2.8 互矩不变性及两直线的交点43

2.9 射影平面与四维空间的对偶性45

2.10 直线系46

2.10.1 线丛46

2.10.2 线汇、线列47

参考文献47

第三章 旋量代数49

3.1 旋量49

3.1.1 旋量的概念49

3.1.2 旋量的参数50

3.1.3 坐标变换法则与不变量51

3.2 旋量运算52

3.2.1 互易积与Klein型52

3.2.2 旋量叉积53

3.2.3 旋量微分54

3.2.4 Killing型55

3.3 旋量与旋量运算的对偶数表示56

3.3.1 对偶数、对偶向量与矩量56

3.3.2 旋量运算的对偶数表示57

3.4 速度旋量与Mozzi瞬轴59

3.4.1 螺旋运动速度场59

3.4.2 速度旋量及其李代数表示60

3.4.3 刚体运动62

3.4.4 串联刚体63

3.4.5 机械臂65

3.5 力旋量与Poinsot中心轴定理66

3.5.1 对偶李代数se(3)元素的力旋量66

3.5.2 Poinsot中心轴定理66

3.5.3 力旋量参数67

3.5.4 合成力旋量69

3.6 几何量的向量表示70

3.6.1 静力学与瞬时运动学的对应性70

3.6.2 向量空间几何量的表示、特性与变换71

3.7 互易性72

3.8 正则旋量73

3.9 李代数及其表示73

3.9.1 李代数的概念73

3.9.2 李代数伴随算子ad(X)与伴随作用74

3.9.3 李代数的向量形式75

3.9.4 李代数的表示75

3.10 李运算与李括号及其等价原理77

3.10.1 标准4×4矩阵表示的李括号77

3.10.2 交换子与Jacobi恒等式78

3.10.3 6×6伴随表示的李括号及其等价定理79

参考文献80

第四章 位移算子与指数映射83

4.1 坐标变换83

4.1.1 旋转变换83

4.1.2 齐次变换85

4.2 位移算子与坐标变换86

4.2.1 位移算子86

4.2.2 坐标变换与位移算子的关系88

4.3 一般运动的仿射变换及其空间结构与群表示89

4.4 旋转算子、旋转群SO(3)与指数映射91

4.4.1 群公理与李群91

4.4.2 旋转群92

4.4.3 Euler-Rodrigues方程与so(3)到SO(3)的指数映射93

4.5 Rodrigues参数、Rodrigues方程与Cayley方程95

4.5.1 Rodrigues参数与平面运动的Rodrigues方程95

4.5.2 一般运动的Rodrigues方程96

4.5.3 旋转运动的Euler-Rodrigues方程97

4.5.4 旋转运动的Cayley方程98

4.6 研究旋转运动的四元数法及其与李群、李代数的关联99

4.6.1 Hamilton四元数与共轭四元数99

4.6.2 Euler-Rodrigues参数与Rodrigues四元数100

4.6.3 四元数与李群、李代数100

4.6.4 四元数形式的旋转算子与Euler-Rodrigues方程101

4.7 研究一般运动的对偶四元数法102

4.7.1 对偶四元数与Hamilton算子102

4.7.2 Clifford代数105

4.8 经典位移算子的内在关联106

参考文献107

第五章 SE(3)伴随作用的有限位移旋量113

5.1 有限位移旋量算子与SE(3)的伴随表示114

5.1.1 Chasles运动、李群SE(3)与有限位移旋量矩阵114

5.1.2 李群伴随算子Ad(g)与伴随作用116

5.1.3 李群SE(3)的标准表示与伴随表示以及Euler-Rodrigues运动公式116

5.1.4 李群SE(3)元素的6×6有限位移旋量矩阵117

5.1.5 有限位移旋量矩阵的传统分解与商群119

5.2 有限位移旋量矩阵的Chasles分解及其几何解释119

5.2.1 绕任意旋量轴的具有等效平移的纯旋转119

5.2.2 沿轴线平移的矩阵形式以及有限位移旋量矩阵的Chasles分解121

5.2.3 旋量特性变更算子122

5.3 有限位移旋量矩阵的迹与参数124

5.3.1 旋转角的相关迹124

5.3.2 轴向平移的迹124

5.4 有限位移旋量表示论125

5.4.1 有限位移旋量矩阵的特征旋量126

5.4.2 有限位移旋量表示法126

5.4.3 有限位移旋量姿态表示法127

5.5 有限位移旋量的组合运算128

5.6 李群表示论与有限位移螺旋运动130

5.6.1 李群表示130

5.6.2 有限螺旋运动131

5.7 李群运算及其对李代数se(3)的伴随作用131

5.7.1 李群运算与共轭131

5.7.2 基于有限位移旋量的李群对李代数伴随作用的共轭运算132

5.7.3 对李代数se(3)向量形式的左作用134

5.8 有限位移旋量矩阵的微分与李代数se(3)的瞬时旋量134

5.8.1 有限位移旋量矩阵的微分134

5.8.2 se(3)到SE(3)的指数映射137

5.9 有限位移旋量表示的Chasles运动分解138

5.9.1 实现刚体位移的伴随作用138

5.9.2 有限位移旋量算子的几何量139

5.9.3 有限位移旋量表示的Chasles运动执行过程140

5.10 旋量代数、李群与李代数的关联论142

5.10.1 旋量代数、李群与李代数、有限位移旋量、四元数代数的关联142

5.10.2 李群、李代数与有限位移旋量、瞬时旋量关联图143

5.10.3 有限位移旋量、瞬时旋量、李群及李代数发展史144

参考文献145

第二篇 旋量系理论及机构约束与自由运动151

第六章 互易性与旋量系151

6.1 旋量的互易性151

6.1.1 几何特性与物理含义151

6.1.2 运动与约束中的互易关联153

6.2 旋量的相关性154

6.2.1 旋量相关的充分必要条件155

6.2.2 两个旋量的相关性156

6.2.3 具有相同旋距的三个旋量的相关性157

6.2.4 具有相同旋距的四个、五个与六个旋量的相关性159

6.2.5 旋量算子的不变性161

6.3 旋量系、基本集与张成多重集162

6.3.1 旋量系162

6.3.2 旋量系的集合运算163

6.3.3 旋量系转换定理与阶数定律164

6.3.4 基本集164

6.3.5 张成多重集165

6.4 旋量系的组合166

6.4.1 合成旋量为线矢量的条件166

6.4.2 二阶旋量系的组合167

6.4.3 零旋距的三阶旋量系的组合168

6.4.4 零旋距的四阶旋量系的组合169

6.4.5 广义方程与合成线矢量的构造170

参考文献172

第七章 旋量系关联关系理论175

7.1 旋量系关联关系定理175

7.1.1 旋量系与互易旋量系175

7.1.2 旋量系交集定理176

7.1.3 旋量系关联关系定理177

7.2 一阶旋量系与其互易旋量系180

7.2.1 一阶旋量系关联关系180

7.2.2 关联关系的识别181

7.3 二阶旋量系与其互易旋量系183

7.3.1 空交集183

7.3.2 部分交集184

7.3.3 全交集185

7.3.4 协互易旋量系186

7.4 三阶旋量系与其互易旋量系187

7.4.1 空交集187

7.4.2 一维交集187

7.4.3 多维交集188

7.4.4 全交集188

7.5 具有协互易基的旋量系189

参考文献190

第八章 旋量系零空间构造理论191

8.1 旋量系零空间数学表示192

8.2 构造一维零空间的矩阵增广法193

8.3 一维零空间的代数余子式法194

8.4 五阶旋量系零空间的代数余子式法196

8.4.1 旋量系的增广196

8.4.2 互易旋量系的构造197

8.5 多维零空间构造理论199

8.5.1 矩阵分块199

8.5.2 子矩阵增广200

8.5.3 求解法则201

8.5.4 移位分块与逐级增广201

8.6 齐次线性方程组求解理论203

8.6.1 齐次线性方程组求解法则与步骤203

8.6.2 基于多维零空间构造理论的求解法则与Gauss-Seidel消元法205

8.6.3 递归分块与增广206

8.7 互易旋量系构造理论207

8.7.1 6-n阶互易旋量系构造方法207

8.7.2 移位分块以构造三阶、四阶互易旋量系208

8.7.3 6-n阶互易旋量系构造步骤212

8.7.4 逐级增广与递归分块212

8.8 误差分析与算法效率218

参考文献220

第九章 旋量系对偶原理221

9.1 对偶原理221

9.1.1 互易与对偶221

9.1.2 并联机构运动旋量空间与力旋量空间的交并集对偶原理222

9.1.3 串联机构与并联机构旋量空间的对偶原理223

9.1.4 刚体抓持、并联机构和串联机构对偶原理一览表225

9.2 运动支链旋量系与基本旋量系225

9.2.1 运动支链旋量系226

9.2.2 四个基本旋量系226

9.3 基本旋量系的对偶定理227

9.3.1 基本旋量系的互易关系定理及其对偶性227

9.3.2 基本旋量系的从属关系定理及其对偶性228

9.3.3 基本旋量子空间的从属与互易关联结构228

9.4 Sarrus连杆机构中机构运动与平台约束的对偶性229

9.4.1 支链运动旋量系与机构运动旋量系229

9.4.2 支链约束旋量系与运动平台约束旋量系230

9.4.3 运动平台旋量系与机构旋量系的交集231

9.5 可展球体机构的对偶特性232

9.5.1 扩展Sarrus机构233

9.5.2 n－支链平台单元234

9.6 瞬心与Watt六杆机构238

9.6.1 Aronhold-Kennedy定理的向量表示238

9.6.2 瞬心的自反性与传递性239

9.6.3 对称杆件的瞬心240

参考文献242

第十章 旋量系分解理论及约束与自由运动245

10.1 约束与刚体抓持246

10.1.1 约束特性246

10.1.2 约束力与外力247

10.1.3 扩展抓持矩阵与约束力分析248

10.2 约束与活动度250

10.3 公共约束旋量系与其多重集252

10.4 互补约束旋量系与其多重集253

10.5 约束旋量系分解定理254

10.5.1 输出杆件约束旋量多重集与互补约束旋量多重集254

10.5.2 冗余约束旋量多重集255

10.5.3 分解定理与分解过程255

10.6 约束、运动旋量系间以及与多重集的关联关系256

10.6.1 互补约束旋量系与冗余约束旋量多重集的关联关系256

10.6.2 约束与运动旋量系以及冗余约束旋量多重集的关联关系257

10.6.3 约束冗余因子258

10.6.4 有限位移旋量系、多重集及整周运动259

10.7 公共约束旋量系与互补约束旋量系的关联关系259

10.7.1 公共约束、互补约束与输出杆件约束旋量系的关联关系259

10.7.2 约束旋量系与冗余约束旋量多重集的关联关系260

10.8 活动度扩展准则261

10.8.1 基于公共约束与冗余约束的活动度扩展准则261

10.8.2 基于机构环路的活动度扩展准则262

10.8.3 活动度扩展准则与旋量系阶数及旋量多重集基数的关联关系263

10.8.4 基于独立参数的活动度计算公式264

10.9 冗余约束对机构活动度的影响264

10.9.1 含公共约束与冗余约束的经典过约束机构264

10.9.2 典型的过约束并联机构265

10.9.3 无公共约束的过约束机构267

10.9.4 非过约束并联机构269

10.10 闭环运动链的约束与运动旋量系270

10.10.1 含球面六杆闭环运动链的支链约束旋量系271

10.10.2 变胞运动链的运动旋量系272

10.11 约束分布与约束旋量系274

10.11.1 三球面运动支链并联机构274

10.11.2 虚拟对称平面274

10.11.3 约束力在对称平面中的分布276

10.12 过约束机构的几何约束278

10.12.1 过约束机构278

10.12.2 几何约束279

10.12.3 轴线约束方程281

参考文献284

第三篇 旋量代数与几何基础的机构学与机器人学应用291

第十一章 约束旋量系与机构构型291

11.1 Schatz连杆机构的约束和运动292

11.1.1 可逆转的立方体和Schatz连杆机构292

11.1.2 运动旋量系与约束旋量系294

11.1.3 中心连杆的运动循环296

11.2 机构分岔运动中的约束阶数变化298

11.2.1 约束与活动度以及过渡位形298

11.2.2 具有一个平移运动的分岔运动分支300

11.2.3 具有螺旋运动的分岔运动分支301

11.2.4 具有两个平移运动的分岔运动分支302

11.3 旋量系与可重构能力303

11.3.1 3(rT)C(rT)变胞并联机构304

11.3.2 约束旋量系的演变和机构活动度的变化306

11.3.3 由可重构引起的约束变化和活动度演化308

参考文献311

第十二章 柔度与刚度中的旋量矩阵315

12.1 机器人的刚度315

12.1.1 机构的刚度315

12.1.2 抓持中的刚度316

12.1.3 柔性接触316

12.1.4 串联机器人与并联机器人的刚度317

12.2 抓持的弹性与几何兼容性317

12.2.1 抓持公式317

12.2.2 弹性几何兼容性319

12.3 集成抓持刚度矩阵321

12.3.1 抓持操作与操作臂的关系321

12.3.2 集成刚度矩阵323

12.3.3 集成Jacobian矩阵和集成刚度矩阵的影响323

12.4 并联机构的刚度324

12.4.1 刚度映射324

12.4.2 运动静力学分析325

12.4.3 全局刚度矩阵的组成以及力旋量与瞬时旋量之间的关系327

12.4.4 各向同性的扭转刚度与平移刚度329

12.5 柔度矩阵及其分解330

12.5.1 板簧支链的柔度330

12.5.2 伴随变换与板簧支链的Jacobian矩阵332

12.5.3 三支链刚性连接柔顺平台的柔度模型334

12.6 各向同性柔度与柔度映射336

12.6.1 柔度矩阵分解336

12.6.2 特征柔度与微小变形位移特征旋量的分解338

12.7 艺术折纸（origami）衍生机构的刚度338

12.7.1 导向连杆系的集成刚度339

12.7.2 碰撞锁定机构的组合刚度340

12.8 欠驱动机器人的刚度耦合341

12.8.1 刚度与控制341

12.8.2 运动静力学分析与运动耦合343

12.8.3 驱动铰链副与无驱动铰链副的刚度耦合344

12.8.4 刚度和惯性效应345

参考文献347

第十三章 并联机构旋量系变异与活动度变化353

13.1 并联机构四个基本旋量系355

13.1.1 并联机构支链旋量系355

13.1.2 平台旋量系和机构旋量系355

13.2 约束旋量多重集和活动度扩展准则356

13.2.1 冗余约束旋量多重集356

13.2.2 公共约束旋量多重集357

13.3 平台约束旋量系中的公共约束和冗余约束358

13.3.1 支链的运动旋量系358

13.3.2 平台约束旋量多重集和公共约束359

13.4 约束旋量多重集和分岔运动中的活动度变化361

13.4.1 分岔运动1中的约束旋量多重集361

13.4.2 分岔运动2中的约束旋量多重集361

13.4.3 两分岔运动共有运动的平台运动旋量系362

13.5 机构旋量系与平台旋量系的关联362

13.6 非对称并联机构中的旋量系和活动度364

13.7 支链旋量系改变引起的平台运动旋量系变化366

13.7.1 变胞并联机构支链旋量系366

13.7.2 变胞并联机构平台旋量系的变化368

13.8 冗余驱动并联机构370

13.8.1 平台构型方程371

13.8.2 奇异规避373

13.8.3 局部灵巧度的改进374

参考文献376

第十四章 多指灵巧手的几何学与旋量矩阵383

14.1 变胞活动手掌运动的几何分析384

14.1.1 手指操作平面384

14.1.2 手指操作平面的几何学以及与手掌运动的关联386

14.2 高斯映射与姿态直纹面388

14.3 变胞多指灵巧手的手掌与灵巧手工作空间390

14.3.1 变胞手掌工作空间390

14.3.2 变胞多指灵巧手工作空间391

14.4 变胞多指灵巧手的运动特征方程392

14.5 Jacobian矩阵和手指运动副速度394

14.5.1 基于互易性的Jacobian矩阵与多指灵巧手手指约束方程394

14.5.2 基于互易性的奇异值分解与手指关节速度397

14.6 基于奇异值的手指角位移分析398

14.7 变胞仿人灵巧手的捻转运动398

参考文献400

附录405

索引409

后记435