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第1章 序论1

1.1科学计算的一般过程1

对实际工程问题进行数学建模1

对数学问题给出数值计算方法1

对数值计算方法进行程序设计1

上机计算并分析结果2

1.2数值计算方法的研究内容与特点2

数值计算方法的研究内容2

数值计算方法的特点2

1.3计算过程中的误差及其控制5

误差的来源与分类5

误差与有效数字6

误差的传播8

误差的控制9

数值算法的稳定性11

病态问题与条件数11

习题112

第2章 非线性方程的数值解法13

2.1二分法13

二分法的基本思想13

二分法及MATLAB程序13

2.2非线性方程求解的迭代法17

迭代法的基本思想17

不动点迭代法及收敛性17

迭代过程的加速方法23

Newton-Raphson方法31

割线法与抛物线法40

2.3非线性方程求解的MATLAB函数43

MATLAB中求方程根的函数43

用MATLAB中的函数求方程的根43

习题244

第3章 线性方程组的数值解法47

3.1向量与矩阵的范数47

向量的范数47

矩阵的范数49

方程组的性态条件数与摄动理论52

3.2直接法54

Gauss消去法及MATLAB程序54

矩阵的三角（LU）分解法66

矩阵的Doolittle分解法及MATLAB程序68

矩阵的Crout分解法73

对称正定矩阵的Cholesky分解及MATLAB程序75

解三对角方程组的追赶法及MATLAB程序79

3.3迭代法81

迭代法的一般形式81

Jacobi迭代法及MATLAB程序82

Gauss-Seidel迭代法及MATLAB程序85

超松弛迭代法及MATLAB程序90

共轭梯度法及MATLAB程序93

3.4迭代法的收敛性分析97

迭代法的收敛性98

迭代法的收敛速度与误差分析99

习题3100

第4章 矩阵特征值与特征向量的数值算法104

4.1预备知识104

Householder变换和Givens变换104

Gershgorin圆盘定理107

QR分解108

4.2乘幂法和反幂法109

乘幂法及MATLAB程序109

乘幂法的加速114

反幂法及MATLAB程序116

4.3 Jacobi方法（对称矩阵）118

Jacobi方法及MATLAB程序118

Jacobi方法的收敛性121

4.4 Householder方法122

一般实矩阵约化为Hessenberg矩阵122

实对称矩阵的三对角化125

求三对角矩阵特征值的二分法125

三对角矩阵特征向量的计算126

4.5 QR方法127

基本的QR方法127

QR方法的收敛性129

带原点位移的QR方法131

单步QR方法计算上Hessenberg矩阵特征值132

双步QR方法132

4.6基于MATLAB的QR分解132

习题4133

第5章 插值方法136

5.1插值多项式及存在唯一性136

插值多项式的一般提法136

插值多项式存在唯一性137

5.2 Lagrange插值138

Lagrange插值多项式138

线性插值与抛物线插值139

Lagrange插值的MATLAB程序140

Lagrange插值余项与误差估计142

5.3 Aitken和Neville插值144

Aitken逐步线性插值145

Neville逐步线性插值145

5.4差商与Newton插值145

差商及其性质146

Newton插值多项式147

Newton插值余项与误差估计149

Newton插值的MATLAB程序149

5.5差分与等距节点的Newton插值151

差分及其性质151

等距节点Newton插值多项式153

等距节点Newton插值的MATLAB程序154

5.6 Hermite插值156

5.7分段低次插值158

高次插值的Runge现象及MATLAB程序158

分段线性插值及MATLAB程序159

分段三次Hermite插值及MATLAB程序162

5.8三次样条插值165

三次样条函数165

三转角插值函数（方程）及MATLAB程序168

三弯矩插值函数（方程）及MATLAB程序171

三次样条插值函数的收敛性174

5.9 B-样条插值175

m次样条函数175

B-样条函数176

B-样条函数的性质177

习题5178

第6章 函数最佳逼近180

6.1正交多项式180

正交函数族180

几个常用的正交多项式181

6.2最佳一致逼近187

一致逼近的概念187

最佳一致逼近多项式191

最佳一致逼近多项式的计算196

最佳一致逼近三角多项式197

6.3最佳平方逼近200

平方度量与平方逼近200

最佳平方逼近201

6.4正交多项式的逼近性质204

用正交多项式作最佳平方逼近204

用正交多项式作最佳一致逼近205

6.5 Fourier级数的逼近性质208

最佳平方三角逼近208

最佳一致三角逼近209

快速Fourier变换213

6.6有理函数逼近217

连分式逼近217

Padé逼近218

6.7曲线拟合的最小二乘法及MATLAB程序220

曲线拟合的最小二乘法220

曲线拟合最小二乘法的MATLAB程序221

习题6222

第7章 数值积分224

7.1机械求积公式224

数值积分的基本思想224

待定系数法225

插值型求积公式226

求积公式的收敛性与稳定性227

7.2 Newton-Cotes求积公式228

Newton-Cotes求积公式的一般形式228

两种低阶的Newton-Cotes求积公式229

误差估计230

Newton-Cotes求积公式的MATLAB程序232

7.3复合求积公式232

复合梯形求积公式及MATLAB程序233

复合Simpson求积公式及MATLAB程序234

复合Cotes求积公式及MATLAB程序235

7.4变步长求积公式236

变步长梯形求积公式及MATLAB程序236

自适应Simpson求积公式及MATLAB程序238

7.5 Romberg求积算法241

Romberg求积公式241

Romberg求积算法的MATLAB程序243

7.6 Gauss求积公式244

Gauss求积公式的构造245

5种Gauss型求积公式247

Gauss求积公式及MATLAB程序252

7.7 MATLAB中的数值积分函数254

MATLAB数值积分函数254

应用实例255

习题7256

第8章 数值微分259

8.1中点方法259

微分中点数值算法259

微分中点数值算法误差分析259

8.2利用插值方法求微分260

插值型求导方法260

常用插值型求数值微分公式261

8.3利用数值积分求微分262

矩形积分方法262

Simpson积分方法263

8.4利用三次样条求微分264

8.5外推法在数值微分中的应用264

习题8265

第9章 常微分方程数值解法266

9.1数值解法的构造途径266

数值解法的基本思想266

差商逼近法267

数值积分法267

Taylor展开法268

9.2 Euler方法及其改进269

Euler方法及MATLAB程序269

改进的Euler方法及MATLAB程序271

预估-校正方法277

公式的截断误差278

9.3 Runge-Kutta方法278

Runge-Kutta方法的基本思想278

二阶Runge-Kutta方法279

三阶与四阶Runge-Kutta方法及MATLAB程序281

变步长的Runge-Kutta方法及MATLAB程序283

9.4单步法的相容性、收敛性与稳定性287

相容性287

收敛性288

稳定性291

9.5线性多步法293

线性多步法的一般公式294

Adams显式及隐式公式295

Milne方法与Simpson方法297

Hamming方法298

预估-校正方法298

9.6微分方程组与高阶微分方程数值解300

一阶微分方程组300

高阶微分方程301

刚性方程302

9.7求微分方程数值解的MATLAB函数303

MATLAB中微分方程数值解函数303

应用实例304

习题9305

部分习题答案308

参考文献313