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第一章 实数1

第一部分 Q 的拓扑研究2

1 收敛到有理数的有理数序列2

2 Q 的区间7

3 收敛的有理数重序列8

4 柯西序列9

5 关于柯西序列上的运算和柯西序列的性质12

第二部分 实数域 R 的结构、R 的拓扑14

1 域 R14

2 实数区间，收敛序列，柯西序列20

3 R 的两个基本性质24

第二章 数直线26

1 关于点集的定义：上界，下界，接触点，聚点26

2 基本定理：波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，单调序列的定理，波雷尔-勒贝格定理32

3 上确界、下确界36

4 关于极限的定理39

1 距离的一般概念43

第三章 度量空间 Rn43

2 R 上矢量空间的范数46

3 Rn 上的范数48

4 极限，Rn 中的球．拓扑性质53

5 复数域 C 与空间 R261

第四章 从 R 到 R 内的映射：单实变量的实函数66

第一部分 数值函数通论66

1 定义和初等性质66

2 序列的上极限、下极限71

3 在一点的极限74

第二部分 连续的单实变量的实函数80

1 连续性的定义．连续函数的初等性质80

2 在区间上连续的函数的两个基本定理85

3 一致连续性88

4 连续延拓90

第三部分 单调函数．单调连续函数92

1 单调函数92

2 单调的连续函数．完备直线96

1 [a，b] 上阶台函数的定义和性质105

第四部分 阶台函数105

2 关于 [a,b] 上阶台函数的运算108

第五部分 一致收敛109

1 数值函数序列一致收敛性的定义111

2 阶台函数序列的一致收敛性．阶梯函数114

3 阶梯函数的巴拿赫空间(一致收敛的范数)120

第六部分 可导函数123

1 定义124

2 一般性质128

3 罗尔定理．有限增量公式．原函数133

4 凸函数141

5 泰勒公式145

第七部分 指数函数149

1 函数 x→xn(n为正整数) 的研究149

2 ar(r？Q) 的定义和性质150

3 函数 r→ar(r？Q，a＞0)154

4 函数 x→ax(x？R，a＞0)155

5 函数 logax 与 xa157

6 指数函数的导数．数 e160

第五章 单实变量的矢量函数：从 R 到 Rp 内的映射167

1 定义和一般的性167

2 连续的矢量函数．阶梯函数169

3 可导的矢量函数173

4 泰勒公式176

5 单实变量的复函数176

第六章 多实变量的实函数：从 Rn 到 R 内的映射．关于从 Rp 到 Rq 内映射的概念179

1 从 Rp 到 R 内映射的连续性179

2 一致收敛．用阶台函数逼近连续函数184

3 偏导数186

4 可微函数的定义190

5 关于可微函数的运算192

6 微分199

7 泰勒公式205

8 从 Rp 到 Rq 内的映射208

符号目录210

法汉名词对照211