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第1章 数值计算引论1

1.1 数值分析的内容和特点1

1.2 数值计算的误差2

1.2.1 误差的来源2

1.2.2 误差与有效数字3

1.2.3 函数求值的误差估计5

1.2.4 计算机中数的表示6

1.3 病态问题与数值稳定性7

1.4 数值计算的基本原则8

1.4.1 避免有效数字的损失8

1.4.2 减少运算次数9

1.4.3 控制误差的传播10

练习题112

扩展题113

第2章 插值法14

2.1 引言与问题特例14

2.2 Lagrange插值多项式15

2.2.1 多项式插值问题15

2.2.2 Lagrange插值多项式16

2.2.3 插值余项17

2.3 逐次线性插值法19

2.3.1 逐次线性插值思想19

2.3.2 Aitken算法20

2.4 Newton插值多项式22

2.4.1 均差及其性质22

2.4.2 Newton插值公式24

2.4.3 差分和等距节点插值公式26

2.5 Hermite插值多项式30

2.6 分段低次插值32

2.6.1 高次多项式插值的问题32

2.6.2 分段线性插值33

2.6.3 分段三次Hermite插值35

2.7 三次样条插值36

2.7.1 三次样条插值函数的概念36

2.7.2 三弯矩算法37

2.7.3 三转角算法40

2.7.4 三次样条插值函数的性质43

练习题245

扩展题246

第3章 函数逼近与数据拟合48

3.1 引言与问题特例48

3.2 正交多项式49

3.2.1 离散点集上的正交多项式50

3.2.2 连续区间上的正交多项式51

3.3 连续函数的最佳逼近54

3.3.1 连续函数的最佳平方逼近55

3.3.2 连续函数的最佳一致逼近58

3.4 离散数据的曲线拟合61

3.4.1 最小二乘拟合61

3.4.2 多项式拟合62

3.4.3 正交多项式拟合65

练习题368

扩展题368

第4章 数值积分与数值微分70

4.1 引言与问题特例70

4.2 Newton-Cotes求积公式71

4.2.1 插值型求积法71

4.2.2 Newton-Cotes求积公式72

4.2.3 Newton-Cotes公式的误差分析74

4.3 复化求积公式77

4.3.1 复化梯形求积公式77

4.3.2 复化Simpson公式79

4.3.3 变步长求积法80

4.4 外推原理与Romberg求积法82

4.4.1 外推原理82

4.4.2 Romberg求积法84

4.5 Gauss求积公式86

4.5.1 Gauss求积公式的基本理论86

4.5.2 常用Gauss求积公式88

4.5.3 Gauss求积公式的余项与稳定性91

4.6 奇异积分的数值计算93

4.6.1 反常积分的计算93

4.6.2 无穷区间积分的计算95

4.7 振荡函数的积分98

4.7.1 分部积分法99

4.7.2 Filon法100

4.8 数值微分102

4.8.1 插值型求导公式103

4.8.2 三次样条函数求导104

4.8.3 数值微分的外推算法105

练习题4106

扩展题4107

第5章 线性方程组的直接解法109

5.1 引言与问题特例109

5.2 Gauss消去法110

5.2.1 Gauss消去法的计算过程110

5.2.2 矩阵的三角分解113

5.2.3 主元素消去法116

5.2.4 Gauss-Jordan消去法120

5.3 直接三角分解方法122

5.3.1 一般矩阵的直接三角分解法122

5.3.2 三对角方程组的追赶法125

5.3.3 平方根法127

5.4 向量和矩阵的范数130

5.4.1 向量的范数与极限130

5.4.2 矩阵的范数132

5.5 方程组的性态与误差估计136

5.5.1 矩阵的条件数136

5.5.2 方程组解的误差估计138

练习题5141

扩展题5144

第6章 线性方程组的迭代解法146

6.1 引言与问题特例146

6.2 基本迭代方法147

6.2.1 迭代公式的构造147

6.2.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法148

6.3 迭代法的收敛性150

6.3.1 一般迭代法的收敛性150

6.3.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性154

6.4 超松弛迭代法157

6.5 分块迭代法160

6.6 共轭梯度法162

6.6.1 等价问题与几何意义162

6.6.2 最速下降法163

6.6.3 共轭梯度法164

练习题6167

扩展题6168

第7章 非线性方程的数值解法170

7.1 引言与问题特例170

7.2 方程求根的二分法172

7.3 一元方程的不动点迭代法173

7.3.1 不动点迭代法及其收敛性173

7.3.2 局部收敛性和加速收敛法177

7.4 一元方程的常用迭代法181

7.4.1 Newton迭代法181

7.4.2 割线法与抛物线法184

7.5 多项式求根186

7.5.1 多项式及其导数求值的计算187

7.5.2 代数方程的Newton法187

7.5.3 共轭复根的计算189

练习题7191

扩展题7192

第8章 非线性方程组的数值解法193

8.1 引言与问题特例193

8.2 非线性方程组的不动点迭代法194

8.2.1 向量值函数的导数及其性质194

8.2.2 不动点迭代法196

8.3 非线性方程组的Newton法与拟Newton法200

8.3.1 Newton法及其收敛性200

8.3.2 拟Newton法203

练习题8205

扩展题8206

第9章 矩阵特征值问题的数值计算207

9.1 引言与问题特例207

9.2 特征值的性质与估计208

9.3 幂法和反幂法210

9.3.1 幂法和加速方法210

9.3.2 反幂法和原点位移213

9.4 Jacobi方法216

9.5 QR算法220

9.5.1 化矩阵为Hessenberg形220

9.5.2 QR算法及其收敛性223

9.5.3 带原点位移的QR算法227

9.6 广义特征值问题230

9.6.1 约化到标准特征值问题的计算230

9.6.2 乘积型矩阵特征值问题的计算231

练习题9232

扩展题9234

第10章 常微分方程的数值解法235

10.1 引言与问题特例235

10.2 简单数值方法236

10.2.1 Euler方法及其有关的方法236

10.2.2 局部误差和方法的阶239

10.3 Runge-Kutta方法241

10.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想241

10.3.2 几类显式Runge-Kutta方法242

10.4 单步法的收敛性和稳定性246

10.4.1 单步法的收敛性246

10.4.2 单步法的稳定性247

10.5 线性多步法250

10.5.1 基于数值积分的方法250

10.5.2 基于Taylor展开的方法252

10.5.3 预估-校正算法255

10.6 一阶方程组的数值解法258

10.6.1 一阶方程组和高阶方程258

10.6.2 刚性方程组260

10.7 边值问题的数值解法262

10.7.1 打靶法262

10.7.2 差分法265

10.7.3 差分问题的收敛性268

练习题10270

扩展题10272

第11章 偏微分方程的数值解法274

11.1 引言与问题特例274

11.2 抛物型方程的差分法275

11.2.1 显式差分法275

11.2.2 隐式差分法277

11.2.3 Crank-Nicolson方法279

11.3 双曲型方程的差分法281

11.4 椭圆型方程的差分法284

11.5 有限元法287

练习题11294

扩展题11296

部分练习题提示与答案297

参考文献305