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第1章 函数、极限与连续1

1.1函数1

1.1.1区间与邻域1

1.1.2函数的概念2

1.1.3函数的几种特性5

1.1.4反函数6

1.1.5基本初等函数7

1.1.6复合函数、初等函数10

习题1.112

1.2数列的极限13

1.2.1数列的概念及其性质13

1.2.2数列极限的定义14

1.2.3收敛数列的性质16

1.2.4数列极限的四则运算法则18

习题1.220

1.3函数的极限21

1.3.1函数极限的定义21

1.3.2函数极限的性质25

习题1.327

1.4无穷小与无穷大27

1.4.1无穷小27

1.4.2无穷大29

习题1.431

1.5函数极限的运算法则32

习题1.536

1.6极限存在准则与两个重要极限37

1.6.1极限存在准则37

1.6.2两个重要极限39

习题1.642

1.7无穷小的比较43

习题1.746

1.8函数的连续性与间断点47

1.8.1函数连续的概念47

1.8.2函数的间断点及其分类49

习题1.850

1.9连续函数的运算与性质51

1.9.1连续函数的运算51

1.9.2初等函数的连续性52

1.9.3闭区间上连续函数的性质54

习题1.956

1.10数学实验157

1.10.1实验目的与内容57

1.10.2实验案例58

习题1.1061

第2章 导数与微分63

2.1导数的概念63

2.1.1两个实例63

2.1.2导数的定义64

2.1.3求导数举例67

2.1.4导数的几何意义68

2.1.5函数的可导性与连续性之间的关系69

2.1.6变化率问题在实际中的应用70

习题2.171

2.2导数的运算法则与求导公式73

2.2.1函数的四则运算求导法则73

2.2.2反函数的求导法则75

2.2.3复合函数的求导法则77

2.2.4初等函数求导举例78

习题2.280

2.3高阶导数81

习题2.385

2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法86

2.4.1隐函数的求导法86

2.4.2对数求导法87

2.4.3由参数方程所确定的函数的求导法88

2.4.4相关变化率89

习题2.490

2.5函数的微分91

2.5.1微分的概念92

2.5.2微分公式与微分的运算法则94

2.5.3微分在近似计算中的应用96

习题2.598

2.6数学实验299

2.6.1实验目的与内容99

2.6.2实验案例99

习题2.6102

第3章 微分中值定理与导数的应用103

3.1微分中值定理103

3.1.1函数的极值与费马引理103

3.1.2罗尔定理104

3.1.3拉格朗日中值定理105

3.1.4柯西中值定理107

习题3.1109

3.2洛必达（L’ Hospital）法则111

3.2.1 0/0型未定式的极限111

3.2.2∞/∞型未定式的极限112

3.2.3其他类型未定式的极限113

习题3.2115

3.3泰勒（Taylor）公式116

3.3.1泰勒公式116

3.3.2几个常用初等函数的麦克劳林（Maclaurin）公式118

3.3.3泰勒公式的应用119

习题3.3120

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性121

3.4.1函数单调性的判定法121

3.4.2曲线凹凸性的判定法123

习题3.4126

3.5函数的极值与最值128

3.5.1函数取极值的判定法128

3.5.2函数的最值问题130

习题3.5132

3.6函数图形的描绘134

习题3.6136

3.7曲率137

3.7.1弧微分137

3.7.2曲率及其计算公式138

3.7.3曲率圆与曲率半径140

习题3.7141

3.8方程的近似解142

3.8.1二分法142

3.8.2切线法143

习题3.8145

3.9数学实验3145

3.9.1实验目的与内容145

3.9.2实验案例145

习题3.9152

第4章 不定积分154

4.1不定积分的概念及性质154

4.1.1原函数与不定积分的概念154

4.1.2不定积分性质156

4.1.3基本积分表156

习题4.1158

4.2换元积分法159

4.2.1第一类换元法159

4.2.2第二换元法163

习题4.2167

4.3分部积分法169

习题4.3172

4.4有理函数及可化为有理函数的积分举例173

4.4.1有理函数的积分173

4.4.2可化为有理函数的积分举例175

4.4.3积分表的使用176

习题4.4177

4.5数学实验4178

4.5.1实验目的与内容178

4.5.2实验案例179

第5章 定积分181

5.1定积分的概念及性质181

5.1.1定积分概念的发展史181

5.1.2定积分的概念182

5.1.3定积分的性质184

5.1.4定积分的近似计算186

习题5.1190

5.2牛顿—莱布尼茨公式191

5.2.1变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系191

5.2.2积分上限函数与原函数存在定理191

5.2.3牛顿—莱布尼茨公式193

习题5.2195

5.3定积分的换元法与分部积分法197

5.3.1换元积分法197

5.3.2定积分的分部积分法200

习题5.3202

5.4反常积分204

5.4.1无穷区间上的反常积分204

5.4.2无界函数的反常积分206

5.4.3Г函数209

习题5.4210

5.5数学实验5211

5.5.1实验目的与内容211

5.5.2实验案例212

习题5.5213

第6章 定积分的应用214

6.1定积分在几何上的应用214

6.2定积分在几何学上的应用215

6.2.1平面图形的面积215

6.2.2体积218

6.2.3平面曲线的弧长220

习题6.2221

6.3定积分在物理上的应用223

6.3.1变力沿直线所做的功223

6.3.2水压力225

6.3.3引力225

习题6.3226

6.4数学实验6227

6.4.1实验目的与内容227

6.4.2实验案例227

习题6.4230

第7章 微分方程231

7.1微分方程的基本概念231

7.1.1微分方程概念231

7.1.2几个概念233

习题7.1234

7.2可分离变量的微分方程235

7.2.1可分离变量的微分方程235

7.2.2可分离变量的微分方程解法235

习题7.2238

7.3齐次方程239

7.3.1齐次方程239

7.3.2齐次方程的解法240

习题7.3242

7.4一阶线性微分方程242

7.4.1一阶线性微分方程242

7.4.2非齐次线性方程的解法243

7.4.3伯努利方程245

习题7.4246

7.5可降阶的高阶微分方程247

7.5.1 y（n）=f（x）型的微分方程247

7.5.2 y"= f （x，y'）型的微分方程247

7.5.3 y"=f （y，y'）型的微分方程248

习题7.5249

7.6高阶线性微分方程249

7.6.1二阶线性微分方程概念249

7.6.2二阶线性微分方程的解的结构250

7.6.3函数的线性相关与线性无关251

7.6.4二阶非齐次线性方程解的结构252

习题7.6253

7.7常系数齐次线性微分方程253

7.7.1二阶常系数齐次线性微分方程253

7.7.2二阶常系数齐次线性微分方程通解254

7.7.3 n阶常系数齐次线性微分方程通解256

习题7.7257

7.8常系数非齐次线性微分方程257

7.8.1二阶常系数非齐次线性微分方程257

7.8.2 f（x）=Pm（x）eλx型258

7.8.3方程y"＋py'＋qy=eλx [Pl（x）cos ωx＋Pn（x） sin ωx]的特解形式260

习题7.8261

7.9数学实验7262

7.9.1实验目的与内容262

7.9.2实验案例262

习题7.9263

附录Ⅰ MATLAB常用函数表264

附录Ⅱ 常用积分公式268

习题参考答案277