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第一部分 基础篇3

第一章 对称与群3

1.1 平面图形的对称与群3

1.1.1 运动群3

1.1.2 平面图形对称的数学定义5

1.2 多项式的对称与群6

第二章 群9

2.1 群9

2.1.1 群的定义9

2.1.2 群的同构和反同构11

2.1.3 一个写法问题13

2.2 子群15

2.2.1 一点准备16

2.2.2 子群的定义17

2.2.3 两类特殊子群19

2.3 生成元集，循环群21

2.3.1 生成元集21

2.3.2 循环群25

2.4 子群（续）27

2.4.1 平面运动群的有限子群27

2.4.2 Sn的子群29

2.5 商群31

2.5.1 合同关系与合同划分31

2.5.2 商群33

2.5.3 商群与正规子群34

2.6 同态37

2.6.1 同态的定义37

2.6.2 同态与商群39

2.7 有限群42

2.7.1 有限群中的数量关系42

2.7.2 交换群的子群存在问题43

2.7.3 Sylow子群的存在问题44

2.8 单群46

2.9 群在集上的作用50

2.9.1 G－集的定义50

2.9.2 群的表示与G－集50

2.9.3 G－集的结构52

2.9.4 G－集的应用54

第三章 环与域59

3.1 环与域59

3.1.1 环的定义及基本性质59

3.1.2 子环63

3.1.3 同态、理想、商环64

3.2 环的构造71

3.2.1 模仿由Z到Q71

3.2.2 模仿由Q到R74

3.2.3 模仿由R到C77

3.2.4 由群作代数79

3.3 多项式环80

3.3.1 R上一元多项式函数环81

3.3.2 R上一元多项式环82

3.3.3 两者之间的关系83

3.3.4 R上多元多项式环84

3.4 交换环86

3.4.1 整环的特征86

3.4.2 整环的商环87

3.4.3 素理想和极大理想88

3.5 整环的整除理论90

3.5.1 出发点90

3.5.2 整除理论的基本概念92

3.5.3 唯一分解环、Euclid环、主理想整环93

3.5.4 多项式环的整除理论98

第四章 多项式的分裂域104

4.1 域104

4.1.1 扩域104

4.1.2 有限扩域106

4.1.3 代数扩域106

4.1.4 一元多项式及其根的性质107

4.2 分裂域109

4.2.1 单扩域109

4.2.2 分裂域111

4.2.3 分裂域的存在性112

4.2.4 分裂域的唯一性113

4.3 有限域（分裂域的一个应用）115

4.3.1 有限域的存在性115

4.3.2 有限域的结构117

4.3.3 例子118

4.4 正规扩域（分裂域续）121

4.4.1 正规扩域的定义121

4.4.2 正规扩域＝分裂域121

4.4.3 分裂域是单扩域123

4.4.4 分裂域的Galois群124

4.5 尺规作图不能问题126

第二部分 选学篇135

第五章 群论135

5.1 有限交换群的结构定理135

5.1.1 一些准备135

5.1.2 分解成p－加群的直和136

5.1.3 p－加群的再分解137

5.1.4 群的构造139

5.1.5 主要定理140

5.1.6 例子141

5.2 群的构造，自由群143

第六章 环论与模论151

6.1 环的表示与模151

6.1.1 表示与模151

6.1.2 模的基本概念154

6.1.3 模论观点下的有限交换群结构定理156

6.2 有限单环的结构定理158

6.2.1 定义及例子158

6.2.2 模论方面的准备——单模对应的表示159

6.2.3 单模给出的有限单环的表示161

6.2.4 主要定理161

6.3 布尔代数164

6.3.1 布尔代数的背景164

6.3.2 布尔代数166

6.3.3 布尔函数与布尔多项式函数167

6.3.4 积和标准布尔多项式168

6.3.5 布尔函数与布尔多项式函数（续）169

6.3.6 和积标准布尔多项式170

6.3.7 回到开关电路170

6.4 Zorn引理171

第七章 域论175

7.1 Galois基本定理175

7.2 一个例子183

7.3 用根式解代数方程问题188

7.4 有限域的一个应用——编码193

第八章 多元多项式环（代数几何初步）202

8.1 代数簇202

8.2 Hilbert基定理206

8.3 代数簇的分解210

8.4 Gr？bner基214

8.5 Buchberger算法220

8.6 初等几何的机器证明226

参考文献231

符号表232

索引233