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第一章　初涉极限1

1.1　从庄子切棒和阿基里斯追龟谈起1

1.2　数列与级数4

1.3 0与∞7

1.4　代数极限和几何极限10

1.5　无穷小列和极限定义12

1.6　从北京奥运会探讨体育成绩的极限14

第二章　计算极限18

2.1　有限项级数18

2.1.1　高斯和等差级数18

2.1.2　杨辉三角和高阶等差级数21

2.1.3　等幂自然数级数23

2.1.4　等比级数25

2.1.5　等差数列和等比数列28

2.2　无穷级数29

2.2.1　无穷项级数的收敛性29

2.2.2　无穷项级数的发散性30

2.3　关于0/0与∞/∞31

2.4　小变量｜x｜＜1的函数级数34

2.4.1　牛顿二项式定理34

2.4.2 小变量｜x｜＜1三角函数sinx,cosx所展开的级数36

2.5　面积和体积39

2.5.1　阿基米德的穷竭法39

2.5.2　开普勒与酒桶体积46

第三章　研究极限54

3.1　牛顿发现变化率和面积联系54

3.1.1　运动极限55

3.1.2　面积和变化率58

3.2 圆周率π59

3.2.1　an的递推公式64

3.2.2　刘徽的伟大贡献64

3.2.3　祖冲之再创辉煌66

3.2.4　祖冲之创新的另一条可能思路77

3.2.5　千思万虑猜《缀术》82

3.3 e84

3.3.1 ex是变化率等于自身的函数84

3.3.2 e与经济增长率86

3.3.3 e是时间的见证88

3.3.4 e是最大连乘积的“基本单元”90

3.3.5 小变量（｜x｜＜1）的ex和ln（1+x）幂级数公式93

3.3.6　欧拉常数γ95

3.4　变化率与极值99

3.4.1　二次三项式f(x)=ax2+bx+c的极值100

3.4.2　极值实例101

3.4.3　溜冰场灯光问题105

3.4.4　光反射问题107

3.4.5　自然界中的极值原理109

第四章　超越极限112

4.1　计算机和极限112

4.1.1　计算机就是一个“阿基里斯”112

4.1.2　阿基里斯追羚羊115

4.1.3　计算机和极限116

4.2　生物与极限118

4.2.1　生物群爆炸和灭绝118

4.2.2 Logistic方程119

4.3　超越极限129

参考文献133

附录A　开普勒与球堆积猜想134

附录B　牛顿与一般二项式定理140

附录C　高斯与最小二乘法146