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第1章 矩阵1

一、内容提要1

(一)知阵1

1. 基本概念1

2. 有关理论2

2.1 矩阵的运算2

2.2 矩阵的运算规则3

1. 基本概念4

(二)行列式4

2. 有关理论与方法5

2.1 行列式的性质5

2.2 行列式的计算6

2.3 行列式的应用--克拉默法则6

(三)可逆矩阵7

1. 基本概念7

2. 有关理论与方法7

2.1 可逆矩阵的性质7

2.2 可逆矩阵的求法8

2.3 正交矩阵的性质9

(四)分块矩阵9

1. 基本概念9

2. 有关理论与方法9

2.1 分块矩阵运算法则9

2.2 分块对角矩阵的逆矩阵10

2.3 四分块矩阵的逆矩阵11

2. 有关理论13

1. 基本概念13

(五)矩阵的秩13

3. 矩阵秩的求法14

二、题解举例14

(一)检验基本概念是否清楚14

(二)选择题18

(三)例题解析27

1.1 矩阵27

1. 矩阵的运算及性质27

2. 矩阵的应用40

1. 行列式的计算(多种方法)43

1.2 行列式43

2. 有关范德蒙行列式的计算74

3. 与代数余子式有关的计算80

4. 有关行列式计算的综合问题82

1.3 可逆矩阵92

1. 多种方法求逆矩阵92

2. 求解矩阵方程96

3. 抽象矩阵的逆矩阵112

4. 有关正交矩阵的例题116

5. 有关矩阵的综合例题118

1.4 分块矩阵121

1. 特殊分块矩阵的逆矩阵121

2. 四分块矩阵的逆矩阵126

1.5 矩阵的秩128

习题1132

第2章 线性代数方程组141

一、内容提要141

(一)向量组的线性相关性141

1. 基本概念141

2.1 线性相关与线性表示的联系142

2. 有关理论142

2.2 线性相关的性质143

2.3 向量组的秩144

(二)线性代数方程组145

1. 基本概念145

2. 线性代数方程组解的理论146

3. 线性代数方程组解的结构146

3.1 齐次方程组Ax=0解的结构146

4. 线性代数方程组与线性相关性的关系147

3.2 非齐次方程组Ax=b解的结构147

(三)向量空间148

1. 基本概念148

2. 有关理论与方法151

2.1 正交性与线性无关性的关系151

2.2 施密特(Schimidt)正交化方法151

二、题解举例152

(一)检验基本概念是否清楚152

(二)选择题159

2.1 向量组的线性相关性176

1. 线性表示与线性组合176

(三)例题解析176

2. 线性相关与线性无关的判断188

3. 向量组的秩与矩阵的秩197

2.2 线性代数方程组204

1. 齐次线性代数方程组的解法204

2. 含参数的非齐次线性代数方程组的解法209

3. 线性代数方程组的基础解系217

4. 有关线性方程组理论的综合题224

5. 线性代数方程组的应用232

1. 向量空间的检验方法235

2.3 向量空间235

2. 向量空间的基、维数、坐标的求法236

3. 向量的内积与正交化方法241

习题2246

第3章 矩阵特征值与特征向量、二次型250

一、 内容提要250

(一)特征值与特征向量250

1. 基本概念250

3. 有关理论251

2. 特征值与特征向量的求法251

1. 基本概念252

2. 有关理论252

2.1 相似矩阵的性质252

(二)矩阵对角化252

2.2 n阵方阵A与对角矩阵相似的条件253

3. 将n阶方阵A对角化的方法与步聚254

(三)二次型254

1. 基本概念254

1. 基本概念256

2. 化二次型为标准形的方法256

(四)正定矩阵256

2. 有关理论257

二、题解举例259

(一)检验基本概念是否清楚259

(二)选择题262

(三)例题解析268

3.1 特征值与特征向量268

1. 特征值与特征向量的求法268

2. 已知矩阵A的特征值，计算(或证明)与矩阵A有关的行列式、矩阵、逆矩阵282

3. 哈密尔顿-凯莱定理的应用291

3.2 矩阵对角化293

1. 相似矩阵的判别方法293

2. 方阵A与对角矩阵Λ相似的判别方法296

3. 可对角化矩阵的应用318

4. 关于相似(或对角)矩阵的证明题328

3.3 二次型332

1. 二次型的矩阵表示及其秩332

2. 化二次型为标准形的方法337

1. 正定矩阵、正定二次型的判定方法355

3.4 正定矩阵355

2. 有关正定矩阵的性质362

习题3367

第4章 线性变换372

一、内容提要372

(一)线性变换及其运算372

1. 基本概念372

2. 有关理论372

2.1 线性变换的性质372

2.2 线性变换的运算373

1. 基本概念374

(二)线性变换与矩阵374

2. 有关理论375

二、题解举例376

(一)检验基本概念是否清楚376

(二)例题解析377

4.1 线性变换及其运算377

1. 线性变换的检验377

2. 线性变换的性质381

1. 过渡矩阵的求法382

4.2 线性变换与矩阵382

2. 线性变换在一组基下的矩阵的求法387

3. 线性变换的和、乘积及逆在某组基下矩阵的求法401

习题4406

习题解答408

习题1408

习题2423

习题3434

习题4457