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第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数的概念与性质1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数的几种基本性质5

1.2 初等函数6

1.2.1 基本初等函数6

1.2.2 复合函数9

1.2.3 初等函数概述10

1.2.4 反函数11

1.3 数列的极限12

1.3.1 概念的引入12

1.3.2 数列极限的定义13

1.3.3 收敛数列的基本性质16

1.4 函数的极限17

1.4.1 函数极限的定义17

1.4.2 函数极限的性质25

1.5 极限的运算法则25

1.5.1 极限的四则运算法则25

1.5.2 复合函数极限的运算法则30

1.6 极限存在准则及两个重要极限31

1.6.1 极限存在准则31

1.6.2 两个重要极限32

1.7 无穷小量与无穷大量38

1.7.1 无穷小量38

1.7.2 无穷大量40

1.7.3 无穷小量的比较41

1.8 函数的连续性44

1.8.1 连续函数的概念44

1.8.2 函数的间断点47

1.8.3 连续函数的性质49

1.8.4 闭区间上连续函数的性质50

本章小结52

习题153

自测题157

第2章 导数与微分60

2.1 导数的概念60

2.1.1 引例60

2.1.2 导数的定义62

2.1.3 函数可导与连续的关系65

2.1.4 导数的几何意义67

2.2 求导法则与导数公式67

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则67

2.2.2 反函数的求导法则69

2.2.3 复合函数的求导法则70

2.2.4 初等函数的导数公式与求导法则72

2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数73

2.3.1 隐函数的导数73

2.3.2 由参数方程所确定的函数的导数75

2.4 高阶导数76

2.5 函数的微分81

2.5.1 微分的定义81

2.5.2 微分的几何意义82

2.5.3 微分公式与微分法则82

2.5.4 微分在近似计算中的应用84

本章小结86

习题287

自测题290

第3章 中值定理与导数的应用92

3.1 微分中值定理92

3.1.1 费马引理92

3.1.2 罗尔定理94

3.1.3 拉格朗日中值定理97

3.1.4 柯西定理99

3.2 洛必达法则100

3.2.1 0/0型未定式100

3.2.2 ∞／∞型未定式101

3.2.3 其他类型的未定式102

3.3 泰勒定理104

3.3.1 泰勒公式105

3.3.2 麦克劳林公式106

3.4 函数的单调性与极值108

3.4.1 函数单调性的判别法108

3.4.2 函数的极值112

3.4.3 函数的最值114

3.5 曲线的凹凸性及函数作图116

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点116

3.5.2 曲线的渐近线119

3.5.3 函数图形的描绘121

3.6 曲率123

3.6.1 弧微分123

3.6.2 曲率及其计算公式124

3.6.3 曲率圆与曲率半径127

本章小结128

习题3130

自测题3133

第4章 不定积分135

4.1 不定积分的概念与性质135

4.1.1 原函数与不定积分的概念135

4.1.2 不定积分的几何意义137

4.1.3 不定积分的性质137

4.1.4 基本积分公式138

4.2 积分法139

4.2.1 直接积分法139

4.2.2 换元积分法140

4.2.3 分部积分法150

4.2.4 有理函数积分法153

4.2.5 三角函数有理式的积分法156

本章小结157

习题4158

自测题4161

第5章 定积分及其应用164

5.1 定积分的概念164

5.1.1 定积分的概念产生的背景164

5.1.2 定积分的定义166

5.1.3 函数f（x）在闭区间［a,b］上可积的充分条件及必要条件168

5.1.4 定积分的几何意义168

5.2 定积分的性质170

5.3 微积分基本定理174

5.3.1 积分上限函数及其导数174

5.3.2 牛顿-莱布尼茨公式177

5.4 定积分的换元积分法与分部积分法179

5.4.1 定积分的换元积分法179

5.4.2 定积分的分部积分法184

5.5 广义积分186

5.5.1 无穷限积分186

5.5.2 无界函数的广义积分188

5.5.3 Γ函数190

5.6 定积分的应用191

5.6.1 定积分在几何上的应用192

5.6.2 定积分在物理上的应用202

本章小结204

习题5205

自测题5209

第6章 微分方程212

6.1 微分方程的基本概念212

6.1.1 微分方程及微分方程的阶213

6.1.2 微分方程的解及通解213

6.1.3 微分方程的特解及初始条件214

6.2 一阶微分方程的解法215

6.2.1 可分离变量的微分方程215

6.2.2 齐次微分方程217

6.2.3 一阶线性微分方程221

6.2.4 伯努利方程224

6.2.5 全微分方程225

6.3 可降阶的高阶微分方程226

6.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程227

6.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程227

6.3.3 y″=f（y,y′）型的微分方程228

6.4 二阶线性微分方程229

6.4.1 线性微分方程解的性质229

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程231

6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程234

6.5 微分方程的简单应用238

本章小结241

习题6243

自测题6246

附录A 初等数学常用公式248

附录B 积分表250

附录C 常用曲线258

参考答案261

参考文献272