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第○章 预备知识1

0.1 连加、连乘与数学归纳法1

一、连加号Σ1

二、连乘号Π2

三、数学归纳法3

习题0.14

0.2 映射、变换4

习题0.27

0.3 等价关系、群与域的概念8

一、等价关系8

二、代数系统8

三、群的概念9

四、域的概念、数域10

习题0.310

0.4 整数的算术11

一、Z上的带余除法11

二、最大公因子12

三、算术基本定理14

习题0.414

第一章 矩阵及其初等变换15

1.1 矩阵及其运算15

一、矩阵的概念15

二、矩阵的线性运算17

三、矩阵的乘法20

四、矩阵的转置27

习题1.130

1.2 Gauss消元法与矩阵的初等变换32

一、Gauss消元法33

二、矩阵的初等变换35

三、初等矩阵40

习题1.244

1.3 逆矩阵45

一、逆矩阵的概念与性质45

二、用行初等变换求逆矩阵49

习题1.354

1.4 分块矩阵55

习题1.461

复习题一63

第二章 行列式66

2.1 n阶行列式的定义66

习题2.171

2.2 行列式的性质与计算71

一、行列式的性质71

二、行列式的计算77

三、方阵乘积的行列式82

习题2.284

2.3 Laplace展开定理86

习题2.390

2.4 分块矩阵的初等变换91

习题2.494

2.5 矩阵的逆与行列式94

习题2.599

2.6 矩阵的秩100

一、矩阵秩的概念100

二、矩阵秩的计算101

三、矩阵秩的性质104

习题2.6107

复习题二108

第三章 n维向量空间112

3.1 n维向量空间的概念112

一、n维向量空间的概念112

二、Fn的子空间115

习题3.1118

3.2 向量组的线性相关性118

一、向量组的线性组合118

二、向量组的线性相关性121

习题3.2129

3.3 向量组的秩与极大无关组130

一、向量组的秩与极大无关组的概念130

二、Fn的基、维数与坐标135

习题3.3136

3.4 线性方程组解的结构137

一、齐次线性方程组137

二、非齐次线性方程组144

习题 3.4152

复习题三154

第四章 多项式158

4.1 一元多项式158

一、一元多项式158

二、多项式的运算158

三、一元多项式函数160

习题4.1161

4.2 带余除法与整除关系162

一、带余除法162

二、整除的性质164

习题4.2165

4.3 多项式的最大公因式166

一、多项式的最大公因式166

二、多项式互素169

习题4.3172

4.4 因式分解定理172

一、不可约多项式173

二、因式分解定理174

习题4.4176

4.5 重因式177

习题4.5179

4.6 多项式的根与重根179

习题4.6182

4.7 复系数与实系数多项式的因式分解182

习题4.7185

4.8 有理系数多项式185

一、本原多项式186

二、整系数多项式的有理根188

三、有理数域上不可约多项式的判别方法189

习题4.8191

4.9 多元多项式191

习题4.9194

4.10 对称多项式195

习题4.1 0198

复习题四198

第五章 线性空间201

5.1 线性空间的定义与性质201

一、线性空间的定义201

二、线性空间的简单性质202

习题5.1203

5.2 线性空间的同构204

习题5.2208

5.3 基变换与坐标变换209

一、过渡矩阵209

二、坐标变换211

习题5.3214

5.4 线性子空间的交与和215

一、线性子空间的性质215

二、子空间的交217

三、子空间的和218

习题5.4220

5.5 线性子空间的直和222

习题5.5226

复习题五226

第六章 线性变换229

6.1 线性映射229

一、线性映射的概念229

二、线性映射的性质230

三、线性映射的矩阵表示232

四、线性映射的运算234

习题6.1235

6.2 线性映射的像与核237

一、像与核的概念和性质237

二、线性同构238

三、核与像的计算239

四、核与像的维数关系241

习题6.2242

6.3 线性变换243

一、定义与性质243

二、可逆线性变换244

三、线性变换的运算与矩阵245

四、线性变换在不同基下矩阵的关系248

习题6.3248

6.4 特征值与特征向量250

一、方阵与线性变换的特征值250

二、特征值与特征向量的计算251

三、Hamilton-Cayley定理259

习题6.4260

6.5 相似对角化261

一、问题的提出261

二、矩阵的相似262

三、矩阵的相似对角化263

习题6.5272

6.6 不变子空间273

一、？-不变子空间273

二、？-子空间分解275

习题6.6276

6.7 对偶空间276

一、对偶空间276

二、二重对偶278

习题6.7279

复习题六279

第七章 Jordan标准形与λ-矩阵282

7.1 最小多项式282

一、最小多项式的概念和性质282

二、最小多项式的计算283

习题7.1287

7.2 Jordan -Chevalley分解288

一、幂零与半单288

二、中国剩余定理289

三、Jordan-Chevalley分解291

习题7.2294

7.3 循环不变子空间与Jordan标准形294

一、循环不变子空间294

二、幂零线性变换的Jordan标准形296

三、复线性空间上一般线性变换的Jordan标准形298

习题7.3298

7.4 λ-矩阵299

一、λ-矩阵的定义和性质299

二、λ-矩阵的相抵标准形300

三、相抵标准形的惟一性303

习题7.4306

7.5 矩阵的相似性判定与有理标准形306

一、方阵的相似与λ-矩阵的相抵306

二、矩阵的有理标准形308

习题7.5310

7.6 初等因子与Jordan标准形311

一、初等因子311

二、初等因子组的计算312

三、Jordan标准形314

四、Jordan标准形的应用举例316

习题7.6318

复习题七318

第八章 欧氏空间320

8.1 内积与欧氏空间320

一、定义与实例320

二、Cauchy不等式322

三、度量矩阵323

习题8.1326

8.2 标准正交基327

一、标准正交基327

二、Gram-Schmidt过程328

三、正交矩阵330

四、欧氏空间上的同构332

习题8.2333

8.3 正交变换与正交补334

一、正交变换334

二、正交补337

三、正交投影与最小二乘解339

习题8.3341

8.4 实对称矩阵的标准形342

一、实对称矩阵342

二、对称变换343

习题8.4346

8.5 酉空间简介347

复习题八349

第九章 二次型与双线性函数351

9.1 二次型351

一、二次型的定义351

二、可逆线性替换352

习题9.1354

9.2 标准形与规范形354

一、配方法354

二、规范形及其惟一性358

习题9.2361

9.3 正定二次型362

一、正交线性替换化实二次型为标准形362

二、正定二次型与正定矩阵363

三、正定矩阵与欧氏空间的度量矩阵368

四、负定、半正定、半负定与不定二次型369

习题9.3371

9.4 双线性函数371

一、双线性函数371

二、非退化双线性函数373

三、对称与反称双线性函数374

习题9.4377

复习题九377