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第1章 复数与复变函数1

1.1 复数的概念1

1.1.1 复数1

1.1.2 复数的运算2

1.2 复数的几何表示3

1.3 复球面与平面区域9

1.3.1 复球面9

1.3.2 复平面区域10

1.3.3 曲线与连通域10

1.4 复变函数的极限与连续性12

1.4.1 复变函数的概念12

1.4.2 复变函数的极限13

1.4.3 复变函数的连续性15

习题一16

小结一17

第2章 解析函数18

2.1 解析函数的概念18

2.1.1 复变函数的导数与微分18

2.1.2 解析函数20

2.2 函数解析的充要条件21

2.3 初等函数25

2.3.1 指数函数25

2.3.2 对数函数27

2.3.3 幂函数29

2.3.4 三角函数与双曲函数30

2.3.5 反三角函数与反双曲函数32

习题二33

小结二34

第3章 复变函数的积分35

3.1 复变函数积分的概念35

3.1.1 复积分的概念35

3.1.2 复积分的性质36

3.1.3 复积分的计算37

3.2 柯西－古萨（Cauchy-Goursat）定理与复合闭路定理40

3.2.1 柯西－古萨定理40

3.2.2 复合闭路定理43

3.3 柯西积分公式与高阶导数公式46

3.3.1 柯西积分公式46

3.3.2 高阶导数公式48

3.4 原函数与不定积分50

3.4.1 原函数与不定积分50

3.4.2 牛顿－莱布尼茨公式51

3.5 解析函数与调和函数的关系52

3.5.1 调和函数与共轭调和函数52

3.5.2 共轭调和函数的求法54

习题三57

小结三58

第4章 级数60

4.1 复数项级数60

4.1.1 复数列60

4.1.2 复数项级数62

4.2 复变函数项级数与幂级数65

4.2.1 复变函数项级数65

4.2.2 幂级数65

4.2.3 收敛半径的求法68

4.2.4 幂级数的运算和性质69

4.3 泰勒级数71

4.3.1 泰勒定理71

4.3.2 常用函数的泰勒展开式74

4.4 洛朗级数77

4.4.1 洛朗级数的概念及收敛域77

4.4.2 圆环域内解析函数的洛朗展开79

习题四87

小结四88

第5章 留数89

5.1 孤立奇点89

5.1.1 孤立奇点的分类89

5.1.2 函数的零点与极点的关系91

5.1.3 函数在无穷远点的性态93

5.2 留数94

5.2.1 留数的定义及留数定理94

5.2.2 留数的计算96

5.2.3 在无穷远点的留数98

5.3 留数在定积分计算上的应用100

5.3.1 形如？R（cosθ,sinθ）dθ的积分100

5.3.2 形如？R（x）dx的积分101

5.4 对数留数与辐角原理103

5.4.1 对数留数103

5.4.2 辐角原理103

5.4.3 路西（Rouché）定理104

习题五106

小结五106

第6章 共形映射109

6.1 共形映射的概念109

6.1.1 解析函数的导数的几何意义109

6.1.2 共形映射的概念111

6.2 分式线性映射112

6.2.1 分式线性映射的定义112

6.2.2 分式线性函数的分解112

6.2.3 分式线性映射的性质114

6.3 几个初等函数所构成的映射116

6.3.1 幂函数116

6.3.2 指数函数118

习题六120

小结六120

第7章 傅里叶变换122

7.1 傅氏积分122

7.1.1 周期函数的傅里叶展开式123

7.1.2 非周期函数的傅里叶级数展开125

7.1.3 傅氏积分定理及傅氏积分公式的三角形式127

7.2 傅氏变换129

7.2.1 傅氏变换的概念129

7.2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换131

7.3 傅氏变换的性质137

7.3.1 傅氏变换的基本性质137

7.3.2 卷积144

7.4 傅氏变换的应用148

7.4.1 频谱148

7.4.2 傅氏变换在求解方程中的应用151

习题七152

小结七153

第8章 拉普拉斯变换155

8.1 拉氏变换的概念155

8.1.1 问题的提出155

8.1.2 拉氏变换的存在定理157

8.1.3 广义拉氏变换159

8.2 拉氏变换的性质161

8.2.1 拉氏变换的基本性质161

8.2.2 卷积170

8.3 拉氏逆变换174

8.3.1 引言174

8.3.2 反演定理和赫维赛德（Heaviside）展开式175

8.4 拉氏变换的应用179

习题八183

小结八184

附录186

附录Ⅰ 部分习题答案186

附录Ⅱ 傅氏变换简表195

附录Ⅲ 拉氏变换简表198

参考文献204