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第8章 数项级数1

8.1数项级数的基本概念及其收敛性1

8.1.1数项级数的基本概念与性质1

8.1.2 Cauchy收敛原理6

习题8.18

8.2上极限与下极限9

8.2.1数列的上极限与下极限9

8.2.2上、下极限的重要性质11

习题8.214

8.3正项级数15

8.3.1比较判别法16

8.3.2 Cauchy判别法与D’Alembert判别法19

8.3.3 Raabe判别法与Cauchy积分判别法21

习题8.327

8.4任意项级数28

8.4.1级数的绝对收敛与条件收敛29

8.4.2交错级数30

8.4.3 Dirichlet判别法与Abel判别法32

习题8.437

8.5绝对收敛级数与条件收敛级数的性质38

8.5.1交换律39

8.5.2无穷级数的乘积（分配律）42

习题8.546

第9章 函数项级数47

9.1函数项级数的一致收敛性47

9.1.1函数项级数的概念47

9.1.2一致收敛的概念49

习题9.154

9.2函数项级数一致收敛的判别与性质56

9.2.1一致收敛的判别法56

9.2.2一致收敛级数的性质61

习题9.267

9.3幂级数70

9.3.1幂级数的收敛域和性质70

9.3.2函数的幂级数展开74

习题9.381

9.4连续函数的多项式一致逼近82

习题9.485

9.5 Fourier级数85

9.5.1 Fourier级数的概念85

9.5.2基本三角函数的正交性与Fourier系数86

9.5.3 Fourier级数的收敛性88

9.5.4其他类型的Fourier级数91

9.5.5内积空间中的Fourier级数95

习题9.5104

第10章 多元函数的极限与连续106

10.1 Euclid空间中的点集106

10.1.1 Euclid空间，点列的极限106

10.1.2空间的开集与闭集108

10.1.3平面点集的基本定理111

习题10.1112

10.2多元函数的极限113

10.2.1多元函数的概念113

10.2.2二元函数的极限113

10.2.3重极限与累次极限116

习题10.2118

10.3多元函数的连续性118

10.3.1多元连续函数的定义118

10.3.2连续函数的性质120

习题10.3123

第11章 多元函数的导数与微分125

11.1方向导数与偏导数125

11.1.1方向导数125

11.1.2偏导数126

11.1.3高阶偏导数127

习题11.1129

11.2全微分及其应用130

11.2.1多元函数的全微分130

11.2.2全微分的应用133

习题11.2133

11.3复合函数求导法则134

习题11.3137

11.4隐函数存在定理138

11.4.1隐函数的概念138

11.4.2隐函数存在定理139

习题11.4143

11.5空间曲线的概念143

习题11.5146

11.6空间曲面的概念147

11.6.1空间曲面的概念147

11.6.2空间曲面的法线与切平面147

习题11.6149

11.7梯度150

11.7.1等值面150

11.7.2梯度151

习题11.7153

11.8 Taylor公式154

习题11.8156

11.9多元函数的极值156

11.9.1多元函数的极值156

11.9.2最小二乘法161

习题11.9162

11.10条件极值164

习题11.10171

第12章 向量值函数的微分173

12.1 Rn上的连续映射173

习题12.1175

12.2映射的微分176

习题12.2181

12.3隐映射存在定理182

习题12.3191

第13章 含参变量的积分与广义积分193

13.1含参变量的积分193

习题13.1199

13.2含参变量的广义积分200

13.2.1一致收敛性及其判别法200

13.2.2一致收敛积分的性质204

习题13.2209

13.3欧拉积分211

13.3.1 Γ函数211

13.3.2 Beta函数212

习题13.3217

第14章 重积分220

14.1重积分的定义和性质220

14.1.1面积和体积的概念220

14.1.2二重积分的概念222

14.1.3二重积分的可积性问题223

14.1.4三重积分的概念224

14.1.5重积分的性质225

习题14.1226

14.2重积分的计算227

14.2.1二重积分的计算227

14.2.2三重积分的计算231

14.2.3重积分的变量代换233

习题14.2241

14.3重积分的应用242

习题14.3248

14.4几个重要定理的证明249

14.4.1定理14.2的证明249

14.4.2定理14.4的证明250

习题14.4252

第15章 曲线积分与曲面积分253

15.1曲线积分253

15.1.1第一类曲线积分的概念253

15.1.2第一类曲线积分的计算254

15.1.3第二类曲线积分的概念256

15.1.4第二类曲线积分的计算258

习题15.1260

15.2曲面积分262

15.2.1第一类曲面积分的概念262

15.2.2第一类曲面积分的计算263

15.2.3第二类曲面积分的概念265

15.2.4第二类曲面积分的计算269

习题15.2272

15.3重积分的基本定理272

15.3.1格林（Green）公式273

15.3.2高斯（Gauss）公式276

15.3.3斯托克斯（Stokes）公式280

15.3.4曲线积分与路径无关的条件283

习题15.3290

15.4场论初步292

15.4.1场的概念292

15.4.2向量场292

15.4.3保守场297

习题15.4299

参考文献300