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第一章 集合论1

0 逻辑推理2

1.逻辑完美的构思2

2.数学的真实语言3

3.初等逻辑运算5

4.公理和定理6

5.逻辑公理和重言式7

6.关系中的代换10

7.量词12

8.量词使用规则13

9.Hilbert运算，组成准则16

0 习题18

1相等和属于关系21

1.相等关系21

2.属于关系22

3.一个集合的子集23

4.空集25

5.一个和两个元素的集合26

6.一个给定集合的子集的集合27

1习题28

2 函数概念28

1.序偶28

2.两个集合的笛卡儿乘积30

3.图像和函数31

4.像和逆像34

5.函数的限制和延拓35

6.复合映射36

7.单射39

8.满射和双射40

9.多变量函数43

2习题45

3 并集和交集47

1.两个集合的并集和交集47

2.一族集合的并集48

3.一族集合的交集49

3习题51

4 等价关系53

1.等价关系53

2.集合关于&个等价关系的商集55

3.定义在商集上的函数58

4习题61

5有限集和自然数62

1.等势集63

2.集合的基数64

3.基数的运算66

4.有限集和自然数69

5.自然数集合N71

6.数学归纳法推理73

7.组合分析74

8.有理整数77

9.有理数81

5习题82

第二章 群，环，域85

6 运算85

1.运算，结合性和交换性85

2.可对称元88

7群的概念91

1.群的定义，例子91

2.群的直积94

3.群的子群95

4.子群的交，生成元99

5.置换和对换101

6.陪集102

7.n个对象的置换数105

8群的同态106

9.同态的核与像108

10.应用到循环群111

11.作用在&个集合上的群112

7习题113

8 环和域119

1.环的定义，例子119

2.整环和域122

3.模p整数环124

4.二项式公式126

5和的乘积展开128

6.环的同态129

8习题131

9复数139

1.平方根139

2.预备知识139

3.环K[？ d]140

4.二次扩张的可逆元143

5.交换域的情形145

6.复数的几何表示146

7.三角函数的乘法公式149

9习题151

第三章 环上的模156

10模和向量空间156

1.环上的模的定义156

2.模的例子158

3.子模，向量子空间160

4.右模和左模161

11模内的线性关系162

1.线性组合162

2.有限生成模164

3.线性关系165

4.自由模，基167

5.无穷线性组合169

11习题170

12线性映射，矩阵175

1.同态的定义175

2.从有限生成自由模到任意模内的同态177

3.同态和矩阵179

4.同态和矩阵的例子182

13同态和矩阵的加法186

1.加法群Hom（L， M）186

2.矩阵的加法187

14矩阵的乘积188

1.模的自同态环188

2.两个矩阵的乘积189

3.矩阵环192

4.同态的矩阵表示194

12， 13， 14习题195

15 逆矩阵和基的变换199

1.模的自同构群199

2.群GL（n， K）199

3.例子：群GL（1， K）和GL（2， K）200

4.基的变换：过渡矩阵202

5.基的变换对于一个同态的矩阵的影响204

15习题207

16线性映射的转置215

1.模的对偶215

2.有限生成自由模的对偶216

3.模的二次对偶218

4.同态的转置220

5.矩阵的转置221

16习题224

17子模的和225

1.两个子模的和225

2.模的直积227

3.子模的直和228

4.直和与投影229

17习题231

第四章 有限维向量空间235

18有限性定理236

1.其核与像均为有限生成的同态236

2.Noether环上的有限生成模237

3.主理想整环上的自由模的子模238

4.应用到线性方程组239

5.Noether环的其他特征240

18习题242

19维数概念244

1.基的存在性244

2.由线性方程组定义向量子空间246

3.线性方程组相容性条件247

4.线性关系的存在性249

5.维数概念251

6.基和维数的特征253

7.同态的核与像的维数254

8.同态、向量族和矩阵的秩255

9.矩阵的秩的计算257

10.从其方程计算向量子空间的维数259

19习题260

20线性方程组265

1.记号和术语265

2.线性方程组的秩，解的存在性条件266

3.相伴齐次方程组267

4.Cramer方程组267

5.线性无关的方程组：化简为Cramer方程组269

20习题271

第五章 行列式275

21多重线性函数275

1.多重线性映射的定义275

2.多重线性映射的张量积279

3.几个代数等式281

4.有限生成自由模的情形284

5.基的变换对于张量分量的影响291

21习题293

22交错双线性和三重线性映射298

1.交错双线性映射298

2.有限生成自由模的情形299

3.交错三重线性映射302

4.关于一个基的展开303

22习题306

23交错多重线性映射308

1.置换的表示308

2.多变量函数的反对称化313

3.交错多重线性映射（314） 4.在同构于Kp的模上的交错P-重线性函数316

5.向量组、矩阵和自同态的行列式319

6.有限维向量空间基的特征322

7.交错多重线性映射：&般情形325

8.线性无关性的判别法327

9.线性方程组的相容性条件329

23习题332

24行列式335

1.行列式的基本性质335

2行列式按行或按列的展开337

3.伴随矩阵341

4.Cramer公式343

24习题344

25仿射空间351

1.平移向量空间351

2.与一个向量空间相伴的仿射空间352

3.仿射空间内的重心354

4.仿射空间内的线性流形357

5.由直线生成线性流形361

6.有限维仿射空间，仿射基362

7.线性流形维数的计算363

8.仿射坐标下线性流形的方程365

第六章 多项式和代数方程367

26代数关系368

1.环的元素上的单项式和多项式368

2.代数关系369

3.交换域的情形371

26习题374

27多项式环377

1.个未定元情形的预备知识377

2.个未定元的多项式378

3多项式记号380

4.多个未定元的多项式382

5.偏次数和总次数383

6.系数在一个整环内的多项式384

28多项式函数386

1.多项式的值386

2.多项式函数的和与乘积387

3.无限域的情形389

27， 28习题391

29有理分式398

1.整环的分式域：预备知识398

2.分式域的构造399

3.域的公理的验证402

4.环K嵌入到它的分式域403

5.系数在&个域内的有理分式405

6.有理分式的值406

29习题410

30导子和Taylor公式414

1.环的导子415

2.多项式环的导子416

3.偏导子417

4.复合函数的导子419

5.Taylor公式420

6.交换域的特征422

7.方程根的重数423

30习题426

31主理想整环429

1.最大公因子429

2.互素元素431

3.最小公倍431

4.素因子的存在性433

5.素元的性质434

6.素因子分解的唯一性435

7.借助素因子分解求最大公因子和最小公倍437

8.主理想整环上的分式的部分分式分解439

31习题440

32多项式除法445

1.一个未定元的多项式除法445

2.一个未定元的多项式环中的理想448

3.几个多项式的最大公因式和最小公倍式449

4.应用到有理分式451

32习题453

33代数方程的根461

1.根的最大数目461

2.代数闭域464

3.系数在代数闭域内的方程根的数目466

4.系数在代数闭域内的不可约多项式468

5.实系数不可约多项式469

6.方程的根与系数的关系471

33习题472

第七章 矩阵的化简484

34特征值484

1.特征向量和特征值的定义484

2.矩阵的特征多项式485

3.特征多项式的形式487

4.特征值的存在性488

5.化成三角矩阵489

6.特征值都是单特征值的情形492

7.可对角化的自同态的特征495

34习题497

35矩阵的典范形式511

1.Hamilton-Cayley定理511

2.幂零自同态分解513

3.幂零自同态的结构515

4.Jordan定理517

35习题520

36 Hermit型527

1.半双线性型，Hermit型527

2.非退化型530

3.同态的伴随同态532

4.关于非退化Hermit型的正交性535

5.正交基540

6.规范正交基543

7.Hermit型的自同构544

8.正定Hermit型的自同构：化成对角形546

9.迷向向量和不定型551

10.Cauchy-Schwarz不等式552

36习题554

参考文献567

记号索引572

术语索引575